11 класс

Первый день

11.1. График линейной функции касается графика квадратичной функции y=f(x), а график квадрата этой линейной функции получается из графика y=f(x) сдвигом вниз на величину p. Докажите,  что для всех таких f(x) число p одинаково.

(Н. Агаханов)

11.2. Числа от 1 до 100 выписали в строку в некотором порядке. Докажите, что найдутся два рядом стоящих числа, сумма которых больше 50, но меньше 150.

(С. Берлов)

11.3. Положительные числа x и y таковы, что для некоторого натурального n справедливо равенство

x+x^2+\ldots+x^n+y+y^2+\ldots+y^n=2n.

Докажите, что тогда выполняется неравенство

\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.

(В. Астахов, А. Гаврилюк)

11.4. Описанная окружность четырехугольника ABCD отражается симметрично относительно сторон AB и AD. Построенные окружности вторично пересекаются в точке A’, отличной от A. Аналогично строятся точки B’, C’ и D’. Докажите, что четырехугольники ABCD и A’B'C’D’ равны.

(Л. Емельянов)

Второй день

11.5. Числа \sin x,\cos x, {\rm tg}\, x являются членами некоторой бесконечной в обе стороны геометрической прогрессии (\ldots, b_{–2}, b_{–1}, b_0, b_1, b_2, \ldots). Докажите, что {\rm ctg}\, x также входит в эту прогрессию.

(Н. Агаханов)

11.6. Основания трех высот треугольной пирамиды являются точками пересечения медиан противоположных граней. Докажите, что все ребра пирамиды равны.

(Н. Агаханов)

11.7. На плоскости проведено 12 прямых, никакие две из которых не параллельны. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников со сторонами, лежащими на этих прямых, могло образоваться?

(И. Рубанов)

11.8. Имеется куча из N > 1 камней. Двое играют в игру. За один ход можно либо забрать один камень из любой кучки, либо разделить любую имеющуюся кучку на две произвольным образом (если в куче более одного камня). Побеждает тот, кто заберет последний камень. Кто из соперников сможет победить независимо от игры соперника?

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение