10 класс
Первый день
10.1. Клетки доски 
раскрашены в шахматном порядке. Одним ходом разрешается перекрасить любую клетку в цвет одной из соседних с ней клеток. Можно ли с помощью таких перекрашиваний изменить цвет всех клеток на противоположный? (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)
(Н. Агаханов)
10.2. Натуральные числа от 1 до 100 выписали в строку в некотором порядке. Докажите, что найдутся два рядом стоящих числа, сумма которых больше 50, но меньше 150.
(С. Берлов)
10.3. Пусть 
и 
— различные натуральные числа, большие 1000000, и такие, что 
делится на 
. Докажите, что 
.
(И. Богданов, В. Сендеров)
10.4. Продолжения сторон 
и 
выпуклого четырехугольника 
пересекаются в точке 
, а продолжения сторон 
и 
— в точке 
. Обозначим через 
и 
середины диагоналей 
и 
. Докажите, что если 
, то 
.
(Л. Емельянов)
Второй день
10.5. Уравнение 
с целыми коэффициентами имеет три различных корня. Оказалось, что первый корень является синусом, второй — косинусом, а третий — тангенсом одного угла. Найдите все такие уравнения.
(Н. Агаханов, И. Богданов)
10.6. На плоскости провели 8 прямых, никакие две из которых не параллельны. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников со сторонами, лежащими на этих прямых, могло образоваться?
(И. Рубанов)
10.7. Дана трапеция с основаниями и . Окружность 
касается основания в точке и продолжений сторон и за точки 
и 
; окружность 
касается основания в точке и продолжений сторон и за точки 
и 
. Докажите, что отрезок 
проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.
(Л. Емельянов)
10.8. В стране есть несколько городов, соединенных дорогами. Каждая дорога соединяет только два города, и на ней введено одностороннее движение; при этом пара городов соединена не более, чем одной дорогой. Выехав из любого города, нельзя в него вернуться. Известно, что из города в город можно проехать ровно 2006 способами. Найдите минимальное возможное число городов в стране.
(И. Богданов)
1 Ян Альбертович Дененберг:
Задача 10.1
По всей видимости, либо задача чересчур тривиальна, либо я не понял условие.
После каждого хода имеется в наличии хотя бы одна пара соседних клеток одного цвета — та, которую перекрасили данным ходом, и та, в цвет которой её перекрасили.
Однако, если бы все клетки изменили свой цвет на противоположный, то любые две соседние клетки были бы разного цвета.
Полученное противоречие доказывет невозможность подобного перекрашивания.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 12th, 2013 at 19:58
Видимо, это утешительная задача
. Да, все просто.
[Ответить]