10 класс

Первый день

10.1. Клетки доски 8\times8 раскрашены в шахматном порядке. Одним ходом разрешается перекрасить любую клетку в цвет одной из соседних с ней клеток. Можно ли с помощью таких перекрашиваний изменить цвет всех клеток на противоположный? (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)

(Н. Агаханов)

10.2. Натуральные числа от 1 до 100 выписали в строку в некотором порядке. Докажите, что найдутся два рядом стоящих числа, сумма которых больше 50, но меньше 150.

(С. Берлов)

10.3. Пусть a и b – различные натуральные числа, большие 1000000, и такие, что (a+b)^3 делится на ab. Докажите, что |a-b|>10000.

(И. Богданов, В. Сендеров)

10.4. Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD – в точке Q. Обозначим через M и N середины диагоналей AC и BD.  Докажите, что если \angle APM=\angle CPN, то \angle BQN=\angle DQM.

(Л. Емельянов)

Второй день

10.5. Уравнение 2x^3 + ax^2 + bx + c = 0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня. Оказалось, что первый корень является синусом, второй – косинусом, а третий – тангенсом одного угла. Найдите все такие уравнения.

(Н. Агаханов, И. Богданов)

10.6. На плоскости провели 8 прямых, никакие две из которых не параллельны. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников со сторонами, лежащими на этих прямых, могло образоваться?

(И. Рубанов)

10.7. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность \omega_1 касается основания BC в точке M и продолжений сторон AB и CD за точки B и C; окружность \omega_2 касается основания AD в точке N и продолжений сторон AB и CD за точки A и D. Докажите, что отрезок MN проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

(Л. Емельянов)

10.8. В стране есть несколько городов, соединенных дорогами. Каждая дорога соединяет только два города, и на ней введено одностороннее движение; при этом пара городов соединена не более, чем одной дорогой. Выехав из любого города, нельзя в него вернуться. Известно, что из города A в город B можно проехать ровно 2006 способами. Найдите минимальное возможное число городов в стране.

(И. Богданов)

Комментариев: 2

  1. 1 Ян Альбертович Дененберг:

    Задача 10.1
    По всей видимости, либо задача чересчур тривиальна, либо я не понял условие.

    После каждого хода имеется в наличии хотя бы одна пара соседних клеток одного цвета — та, которую перекрасили данным ходом, и та, в цвет которой её перекрасили.
    Однако, если бы все клетки изменили свой цвет на противоположный, то любые две соседние клетки были бы разного цвета.

    Полученное противоречие доказывет невозможность подобного перекрашивания.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Видимо, это утешительная задача :) . Да, все просто.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение