9 класс

Первый день

9.1. В наборе из пяти попарно различных гирь каждая весит натуральное число граммов. Известно, что суммарный вес любых трех гирь больше суммарного веса двух оставшихся. Найдите наименьший возможный суммарный вес всех гирь набора.

(О. Подлипский)

Показать решение

9.2. Найдите наименьшее натуральное число, большее 100, такое, что при вписывании между любыми двумя его цифрами любой ненулевой цифры (скажем n) получится число, делящееся на n.

(В. Сендеров)

Показать решение

9.3. Робот загадал натуральное число от 1 до 2005. По нашей просьбе он может проделывать следующие операции:

1) увеличить число в памяти на 1,

2) уменьшить число в памяти на 1,

3) сказать, является ли число в памяти точным квадратом.

Докажите, что не более, чем за 300 операций мы можем узнать, какое число загадал робот.

(А. Кришеник)

Показать решение

9.4. Пусть P – ближайшая к вершине B точка пересечения биссектрисы угла B со вписанной окружностью треугольника ABC. Касательная к этой окружности, проведенная через P, пересекает стороны BC и BA в точках C_1 и A_1 соответственно. Докажите, что расстояние от точки A_1 до биссектрисы угла A равно расстоянию от точки C_1 до биссектрисы угла C.

(Л. Емельянов)

Показать решение

Второй день

9.5. По кругу записаны 5 чисел. Известно, что любое число не меньше суммы двух соседних с ним чисел и не больше суммы двух несоседних с ним чисел. Какие числа могли быть записаны?

(Д. Пермяков)

9.6. Через точку, лежащую внутри треугольника со сторонами a,b,c (a<b<c), провели три прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые образуют в пересечении с внутренностью треугольника отрезки, длины которых равны l,m,n. Докажите, что l+m+n\le b+c.

(Л. Емельянов)

Показать решение

9.7. Можно ли выбрать 100 последовательных четных чисел и разбить их на пары (a_1,b_1), (a_2,b_2), \ldots, (a_{50},b_{50}) так, чтобы каждое из уравнений

x^2+a_1x+b_1=0,x^2+a_2x+b_2=0,\ldots,x^2+a_{50}x+b_{50}=0

имело целые корни?

(Н. Агаханов)

9.8. Правильный шестиугольник со стороной n разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольнички со стороной 1. Этот шестиугольник замостили плитками в виде ромбиков, каждая из которых покрывает два треугольничка. Докажите, что плиток, расположенных каждым из трех способов: вида A, вида B и вида C (см. рис. 166) в этом замощении встретится поровну.

(Е. Куликов)

Комментариев: 7

  1. 1 Анастасія:

    ответы есть??

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    Да, и решения есть. По возможности выложу. Все как всегда :) .

    [Ответить]

  3. 3 Анастасія:

    спасибо большое…а сегодня можно??

    [Ответить]

  4. 4 Анастасія:

    9,3….9,4….9,6

    [Ответить]

  5. 6 Анастасія:

    пожалуйста еще 9,6!!!

    [Ответить]

  6. 7 Анастасія:

    ааа спасибо!!!*

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение