8 класс

Первый день

8.1. На доске выписываются числа по следующему правилу: в первой строке число 1, во второй строке два числа 2 и 3, в третьей строке три числа 3, 4 и 5 и т.д. (в n строке стоят n последовательных натуральных чисел, начиная с n). Сколько раз на доске будет выписано число 2005?

(Р. Женодаров)

8.2. В наборе из пяти попарно различных гирь каждая весит натуральное число граммов. Известно, что суммарный вес любых трех гирь больше суммарного веса двух оставшихся. Найдите наименьший возможный суммарный вес всех гирь набора.

(О. Подлипский)

Показать решение

8.3. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором \angle A=90^{\circ}, а вершина C удалена от прямых AB и AD на расстояния, равные длинам отрезков AB и AD соответственно. Докажите, что диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны.

(С. Токарев)

8.4. В клетчатом квадрате 5\times5 центральная клетка (вместе с ее границей) закрашена. Два игрока по очереди закрашивают еще не закрашенные клетки. Клетки закрашиваются вместе с границей. Игрок проигрывает, если после его хода на любом луче с началом в центральной клетке есть хотя бы одна закрашенная точка, помимо начала луча. Кто из игроков может выиграть независимо от игры соперника?

(К. Малевич, И. Рубанов)

Второй день

8.5. В школе все учащиеся сидят за партами по двое, причем у 60% мальчиков сосед по парте – тоже мальчик, а у 20% девочек сосед по парте – тоже девочка. Сколько процентов учащихся этой школы составляют девочки?

(С. Токарев)

8.6. Найдите наименьшую возможную сумму 10 различных натуральных чисел таких, что произведение любых 5 из них – четно, а сумма всех 10 чисел – нечетна.

(О. Подлипский)

8.7. На сторонах AB,BC,CA треугольника ABC отметили точки C_1,A_1,B_1 соответственно так, что 2AC_1=C_1B, 2BA_1=A_1C, 2CB_1=B_1A. После этого исходный треугольник стерли, оставив точки A_1,B_1,C_1. Постройте исходный треугольник.

(Л. Емельянов)

8.8. Боря соединил лампочку с каждым из десяти выключателей. Олег перерезал пять проводов так, что теперь ровно пять выключателей могут включить лампочку. Олег указал Боре на один из выключателей и спросил, может ли Боря узнать, перерезан ли провод, идущий от него к лампочке. При этом за одну попытку Олег разрешает включить одновременно любые три выключателя (лампочка загорится, если хотя бы один из них соединен с ней). После этого Олег одновременно возвращает выключатели в первоначальное положение. Верно ли, что Боре всегда хватит девяти таких попыток, чтобы ответить на вопрос Олега?

(О. Подлипский, Б. Трушин)

Комментариев: 3

  1. 1 Ян Альбертович Дененберг:

    Предлагаю своё решение задачи 8.6:
    (я так понимаю, что под различными натуральными числами подразумеваются именно попарно различные)

    Среди десяти исходных чисел должно быть не менее шести чётных (в противном случае можно было бы выбрать пять нечётных чисел, произведение которых, разумеется, нечётно, что противоречит условию).
    Поскольку сумма всех десяти чисел нечётна, количество чётных чисел (среди этих десяти) должно быть нечётным.

    Описанные выше рассуждения приводят нас к двум возможным случаям:

    Случай 1:
    Имеем ровно 7 чётных чисел.
    В этом случае наименьшая возможная сумма будет равна 1+3+5+2+4+6+8+10+12+14=65 (поскольку все десять чисел попарно различны).

    Случай 2:
    Имеем ровно 9 нечётных чисел.
    В этом случае наименьшая возможная сумма будет равна 1+2+4+6+8+10+12+14+16+18=91 (поскольку все десять чисел попарно различны).

    В силу выполнения неравенства 65<91, приходим к ответу на задачу.

    Ответ: 65.

    [Ответить]

  2. 2 Ян Альбертович Дененберг:

    Задача 8.1:

    Полагаю, что ответ будет 1003.

    В строке под номером n будут числа от n до 2n-1 включительно.
    Следовательно, в строках с первой по 1002-ю числа 2005 не будет, равно как и во всех строках, начиная с 2006-ой.
    В каждой же из строк с 1003-й по 2005-ю число 2005 обязательно будет, а таких строк у нас ровно 1003.

    Так?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы совершенно правы :)

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение