11 класс

Первый день

11.1. Докажите, что если число \underbrace{11\ldots11}_{n}2\underbrace{11\ldots11}_{n} (единиц по n) делится на 11, то оно также делится и на 121.

(В. Сендеров)

11.2. Известно, что \sin x+\cos 2x и \cos x +\sin 2x – ненулевые рациональные числа. Докажите, что \sin x и \cos x рациональны.

(Н. Агаханов)

11.3. Докажите, что всякий выпуклый n-угольник (n\ge 4) с вершинами в точках с целыми координатами содержит параллелограмм с вершинами в точках с целыми координатами.

(В. Дольников)

11.4. Пятигранник ABCA_1B_1C_1 имеет две непараллельные треугольные грани ABC и A_1B_1C_1 и три грани – выпуклые четырехугольники ABB_1A_1, BCC_1B_1, CAA_1C_1. Докажите, что плоскость, проведенная через точки пересечения диагоналей четырехугольных граней, содержит прямую пересечения плоскостей ABC и A_1B_1C_1.

(Л. Емельянов)

Второй день

11.5. В вершинах правильного 2005-угольника записаны числа. Известно, что для любой вершины записанное в ней число не больше суммы чисел, записанных в двух соседних с ней вершинах, и не меньше суммы чисел, записанных в двух наиболее удаленных от нее вершинах. Какие числа могли быть записаны?

(Д. Пермяков)

11.6. Пусть P – произвольная точка внутри остроугольного треугольника ABC с описанной окружностью \Omega. Прямые AP, BP и CP вторично пересекаются с \Omega в точках A_1, B_1 и C_1 соответственно. Обозначим через A_2,B_2 и C_2 проекции точки P на прямые BC,CA и AB соответственно. Докажите, что треугольники A_1B_1C_1 и A_2B_2C_2 подобны.

(Л. Емельянов)

11.7. Пусть a,b и c – вещественные числа, удовлетворяющие системе уравнений:

\left\{\begin{array}{l}</p>
<p>a+b+c=2,\\<br />
a^2+b^2+c^2=2.<br />
\end{array}\right.

Докажите, что среди этих чисел найдутся два, отличающиеся не менее, чем на 1.

(М. Мурашкин)

11.8. На доске написано уравнение

(x^2+*x+*)\cdot(x^2+*x+*)\cdot\ldots\cdot(x^2+*x+*)=

=(x^2+*x+*)\cdot(x^2+*x+*)\cdot\ldots\cdot(x^2+*x+*),

где в левой и правой частях по 10 квадратных трехчленов. Два игрока по очереди заменяют коэффициенты * на ненулевые вещественные числа. Первый игрок выигрывает, если после очередного хода второго игрока получившееся уравнение имеет вещественный корень, в противном случае выигрывает второй игрок. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию.

(Н. Агаханов)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение