10 класс

Первый день

10.1. В наборе из одиннадцати попарно различных гирь каждая весит натуральное число граммов. Известно, что суммарный вес любых семи гирь больше суммарного веса четырех оставшихся. Найдите наименьший возможный суммарный вес всех гирь набора.

(О. Подлипский, И. Богданов)

10.2. Докажите, что если число \underbrace{11\ldots11}_{n}2\underbrace{11\ldots11}_{n} (единиц по n) делится на 11, то оно также делится и на 121.

(В. Сендеров)

10.3. Пусть B_0 – середина стороны AC треугольника ABC. Проведем из середины отрезка AB_0 перпендикуляр к стороне BC, а из середины отрезка B_0C – перпендикуляр к стороне AB. Обозначим точку пересечения этих перпендикуляров через B’. Аналогично построим точки C’ и A’. Докажите, что треугольники A’B'C’ и ABC подобны.

(Л. Емельянов)

10.4. Какое наибольшее чило клеток клетчатого квадрата (2n-1)\times(2n-1) можно закрасить так, чтобы никакие три закрашенные клетки не образовывали уголок вида 

(О. Дмитриев)

Второй день

10.5. В вершинах правильного 2005-угольника записаны числа. Известно, что для любой вершины записанное в ней число не больше суммы чисел, записанных в двух соседних с ней вершинах, и не меньше суммы чисел, записанных в двух наиболее удаленных от нее вершинах. Какие числа могли быть записаны?

(Д. Пермяков)

10.6. Из вершины B остроугольного треугольника ABC проведены перпендикуляры к сторонам AB и BC до пересечения с прямой AC в точках P и Q соответственно. Докажите, что опианные окружности треугольников ABC и PBQ касаются.

(Т. Емельянова)

10.7. Существуют ли такие три многочлена f_1,f_2,f_3, что у каждого из них и у суммы f_1+f_2+f_3 имеется хотя бы по одному корню, а у трех попарных сумм f_1+f_2, f_2+f_3, f_3+f_1 корней нет?

(И. Рубанов, О. Дмитриев)

10.8. На плоскости расположено бесконечное множество L прямых, никакие две из которых не параллельны. Известно, что, как бы ни расположить на плоскости квадрат со стороной 1, он будет пересекаться хотя бы с одной прямой множества L. Докажите, что найдется квадрат со стороной 0,8, который пересекается не менее чем с тремя прямыми множества L.

(С. Волчёнков)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение