9 класс

Первый день

9.1. Двое по очереди ставят точки в клетки таблицы 7\times7. За один ход ставится ровно одна точка. В одну клетку может быть поставлено несколько точек. Проигрывает тот, после чьего хода в клетках какой-то строки или какого-то столбца суммарно будут стоять 5 точек. Кто из игроков может обеспечить себе победу независимо от игры соперника?

(О.Подлипский)

9.2. Назовем натуральное число “тройным”, если его десятичная запись состоит из трех подряд идущих одинаковых групп цифр (например, 200420042004). После приписывания к некоторому тройному числу справа даты (по две цифры, означающие последовательно число, месяц и год), получилось новое тройное число. Найдите все такие даты в XXI веке.

(О. Дмитриев)

9.3. Пусть A_1 и C_1 – проекции вершин A и C треугольника ABC на биссектрису внешнего угла при вершине B соответственно. Докажите, что отрезки AC_1 и CA_1 пересекаются на биссектрисе угла ABC треугольника ABC.

(Л. Емельянов)

9.4. В футбольном тотализаторе принимаются ставки на исходы 3 матчей очередного тура. (Каждый матч может завершиться любым из трех исходов: победой хозяев поля, победой гостей, либо вничью). Составьте наименьшее число вариантов прогноза так, чтобы среди них наверняка имелся вариант, в котором исходы всех матчей указаны неверно.

(С. Токарев)

Второй день

9.5. Найдите все квадратные трехчлены P(x) с целыми коэффициентами, удовлетворяющие при всех x неравенствам

x^2+x+1\le P(x)\le 2x^2+2x+2.

(А. Голованов)

9.6. Клетчатый прямоугольник разрезали по линиям сетки на шестиклеточные “корытца” и нечетное число клеточек. Какое наименьшее число отдельных клеточек могло при этом оказаться? (Шестиклеточное “корытце” выглядит так: , его можно поворачивать).

(Л. Емельянов)

9.7. О натуральных числах a, p, q известно, что ap+1 делится на q, а aq+1 делится на p. Докажите, что

\displaystyle a>\frac{pq}{2(p+q)}.

(А. Голованов)

9.8. Произвольную точку P плоскости отразили симметрично относительно прямой, содержащей сторону BC треугольника
ABC, и полученную точку отразили симметрично относительно середины стороны BC. Обозначим через A’ полученную точку. Аналогично, отражая точку P симметрично относительно сторон CA и AB, а затем их середин, построим точки B’ и C’. Докажите, что треугольники ABC и A’B'C’ подобны.

(Л.Емельянов)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение