8 класс

Первый день

8.1. Даны действительные числа x, y, z. Докажите, что одно из чисел

    \[x^2+2xy+z^2,\ y^2+2yz+x^2,\ z^2+2zx+y^2\]

неотрицательно.

(Жюри)

8.2. Дан клетчатый прямоугольник 1\times 1000. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход играющий может покрасить клетки какого-то прямоугольника

    \[1\times 1, 1\times 3\]

или

    \[1\times 5\]

клеток (два раза красить одну и ту же клетку нельзя). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может обеспечить себе победу независимо от игры соперника?

(О. Подлипский)

8.3. Пусть AA_1 и CC_1 – высоты остроугольного треугольника ABC. Из точки A_1 проведена прямая под углом C к стороне BC, не параллельная AC, а из точки C_1 проведена прямая под углом A к стороне AB, не параллельная AC. Докажите, что эти прямые пересекаются на стороне AC.

(Л. Емельянов)

8.4. Существуют ли такие натуральные числа x и y, что

    \[x^2-y^3=2003^{2004}?\]

(В. Сендеров)

Второй день

8.5. На перекрестке дорог встретились четыре путника: жители города лжецов (которые всегда лгут) и города рыцарей (которые всегда говорят правду) (при этом не все были жителями одного города. Первый сказал: “Кроме меня, здесь ровно один житель моего города”. Второй добавил: “А из моего города – я один”. Третий подтвердил слова второго: “Ты прав”. А четвертый промолчал. Из какого города четвертый?

(О. Дмитриев, Д. Кузнецов)

8.6. О натуральных числах a и b известно, что an+1 делится на bn+1 при любом натуральном n. Докажите, что a = b.

(А. Голованов)

8.7. Клетчатый прямоугольник разрезали по линиям сетки на шестиклеточные “корытца” и нечетное число клеточек. Какое наименьшее число отдельных клеточек могло при этом оказаться? (Шестиклеточное “корытце” выглядит так:  его можно поворачивать).

(Л. Емельянов)

8.8. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на 3 многоугольника, из которых складывается прямоугольный треугольник (переворачивать части нельзя).

(Л. Емельянов)

Комментарии (RSS)  |  Трекбек

Комментариев: 5

  1. 1 Ян Альбертович Дененберг:

    Решение задачи 8.5.

    Если второй рыцарь, то и третий рыцарь (так как третий сказал, что второй прав).
    Аналогично, если второй лжец, то и третий лжец.
    Таким образом, второй и третий — из одного города.
    Но второй сказал, что из его города он один. Значит, второй лжец и, следовательно, третий лжец.
    Если и четвёртый лжец, то первый не может быть рыцарем (так как его слова не будут правдой), а это означает, что все четверо лжецы, что противоречит условию.
    Следовательно, четвёртый рыцарь.

    Неплохая логическая задача, мне понравилась.

    [Ответить]

    3 Июнь 2013, 23:59

  2. 2 Ян Альбертович Дененберг:

    Уважаемая Елизавета Александровна!
    У Вас в условии задачи 8.2. точно ничего не пропущено?

    Что-то слишком просто выходит. Второй игрок всегда выиграет, причём ходить он может как угодно! Ведь пока свободна хотя бы одна клетка, он сможет сделать ход. А поскольку каждый из игроков красит нечётное число клеток за один ход, перед очередным ходом второго всегда останется хотя бы одна непокрашенная клетка.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Июнь 2nd, 2014 at 15:56

    Уважаемый Ян Альбертович! В условии ничего не пропущено, я проверила. И Вы совершенно правы.

    [Ответить]

    2 Июнь 2014, 1:20

  3. 3 Ян Альбертович Дененберг:

    8.1. Совсем элементарный задач.
    Если одно из чисел

        \[x, y, z\]

    равно нулю (предположим, не ограничивая общности, что это

        \[x\]

    ), то

        \[x^2+2xy+z^2\]

    неотрицательно (так как квадраты неотрицательны, а

        \[xy=0\]

    ).

    Если же нуля среди чисел

        \[x, y, z\]

    нет, то какие-то два из этих чисел будут одного знака, а значит, их произведение будет неотрицательным и в сумме с двумя квадратами тоже даст неотрицательное число.

    Как-то так?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Август 28th, 2017 at 19:22

    Да, так :-)

    [Ответить]

    17 Июль 2017, 16:13

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение