8 класс
Первый день
8.1. Даны действительные числа . Докажите, что одно из чисел
неотрицательно.
(Жюри)
8.2. Дан клетчатый прямоугольник . Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход играющий может покрасить клетки какого-то прямоугольника
или
клеток (два раза красить одну и ту же клетку нельзя). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может обеспечить себе победу независимо от игры соперника?
(О. Подлипский)
8.3. Пусть и
— высоты остроугольного треугольника
. Из точки
проведена прямая под углом
к стороне
, не параллельная
, а из точки
проведена прямая под углом
к стороне
, не параллельная
. Докажите, что эти прямые пересекаются на стороне
.
(Л. Емельянов)
8.4. Существуют ли такие натуральные числа и
, что
(В. Сендеров)
Второй день
8.5. На перекрестке дорог встретились четыре путника: жители города лжецов (которые всегда лгут) и города рыцарей (которые всегда говорят правду) (при этом не все были жителями одного города. Первый сказал: “Кроме меня, здесь ровно один житель моего города”. Второй добавил: “А из моего города — я один”. Третий подтвердил слова второго: “Ты прав”. А четвертый промолчал. Из какого города четвертый?
(О. Дмитриев, Д. Кузнецов)
8.6. О натуральных числах и
известно, что
делится на
при любом натуральном
. Докажите, что
.
(А. Голованов)
8.7. Клетчатый прямоугольник разрезали по линиям сетки на шестиклеточные “корытца” и нечетное число клеточек. Какое наименьшее число отдельных клеточек могло при этом оказаться? (Шестиклеточное “корытце” выглядит так: его можно поворачивать).
(Л. Емельянов)
8.8. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на 3 многоугольника, из которых складывается прямоугольный треугольник (переворачивать части нельзя).
(Л. Емельянов)
1 Ян Альбертович Дененберг:
Решение задачи 8.5.
Если второй рыцарь, то и третий рыцарь (так как третий сказал, что второй прав).
Аналогично, если второй лжец, то и третий лжец.
Таким образом, второй и третий — из одного города.
Но второй сказал, что из его города он один. Значит, второй лжец и, следовательно, третий лжец.
Если и четвёртый лжец, то первый не может быть рыцарем (так как его слова не будут правдой), а это означает, что все четверо лжецы, что противоречит условию.
Следовательно, четвёртый рыцарь.
Неплохая логическая задача, мне понравилась.
[Ответить]
3 Июнь 2013, 23:592 Ян Альбертович Дененберг:
Уважаемая Елизавета Александровна!
У Вас в условии задачи 8.2. точно ничего не пропущено?
Что-то слишком просто выходит. Второй игрок всегда выиграет, причём ходить он может как угодно! Ведь пока свободна хотя бы одна клетка, он сможет сделать ход. А поскольку каждый из игроков красит нечётное число клеток за один ход, перед очередным ходом второго всегда останется хотя бы одна непокрашенная клетка.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Июнь 2nd, 2014 at 15:56
Уважаемый Ян Альбертович! В условии ничего не пропущено, я проверила. И Вы совершенно правы.
[Ответить]
3 Ян Альбертович Дененберг:
8.1. Совсем элементарный задач.
равно нулю (предположим, не ограничивая общности, что это
), то
неотрицательно (так как квадраты неотрицательны, а
).
Если одно из чисел
Если же нуля среди чисел
нет, то какие-то два из этих чисел будут одного знака, а значит, их произведение будет неотрицательным и в сумме с двумя квадратами тоже даст неотрицательное число.
Как-то так?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 28th, 2017 at 19:22
Да, так
[Ответить]