Математика, которая мне нравится

Первый день

11.1. Пусть

- квадратные трехчлены с положительными коэффициентами, причем любые два из них имеют общий корень. Докажите, что a = b = c.

(О. Подлипский)

11.2. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбрали точки M и N так, что четырехугольник AMNC – вписанный, и радиусы окружностей, описанных около четырехугольника AMNC и треугольника MBN, равны. Докажите, что ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника MBN совпадают с центром окружности, описанной около треугольника ABC.

(Н.А. Агаханов)

11.3. Сумма действительных чисел x, y и z равна 3, а сумма их попарных произведений равна a. Докажите неравенство

(А. Храбров)

11.4. От квадратной доски 1001\times 1001 отрезали четыре угловых квадрата 2\times 2. Можно ли оставшуюся часть доски разбить на фигурки вида ? (Все фигурки состоит из пяти клеточек 1 1, их можно поворачивать).

(Б.Трушин)

Второй день

11.5. Множество S состоит из чисел

где b – некоторое натуральное число. Докажите, что если два числа из S являются членами возрастающей арифметической прогрессии, то найдется еще одно число из S, также являющееся членом этой прогрессии.

(Н. Агаханов)

11.6. В круге площади 1001 два игрока по очереди проводят диаметры. Проигрывает тот, после хода, которого площадь какого-то из получившихся секторов меньше 1. Кто из игроков может обеспечить себе победу независимо от игры соперника?

(О. Подлипский)

11.7. Найдите геометрическое место точек P, лежащих внутри куба ABCDA’B'C’D’, для которых в каждую из шести пирамид PABCD, PABB’A', PBCC’B', PCDD’C', PDAA’D', PA’B'C’D’ можно вписать в сферу.

(О. Подлипский)

11.8. Существуют ли такие действительные x, что числа {\rm ctg}\, x и {\rm ctg}\, 2004x оба целые?

(И.Богданов, В. Сендеров)