Математика, которая мне нравится

Первый день

11.1. Пусть

— квадратные трехчлены с положительными коэффициентами, причем любые два из них имеют общий корень. Докажите, что .

(О. Подлипский)

11.2. На сторонах и треугольника выбрали точки и так, что четырехугольник — вписанный, и радиусы окружностей, описанных около четырехугольника и треугольника , равны. Докажите, что ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника совпадают с центром окружности, описанной около треугольника .

(Н.А. Агаханов)

11.3. Сумма действительных чисел и равна , а сумма их попарных произведений равна . Докажите неравенство

(А. Храбров)

11.4. От квадратной доски отрезали четыре угловых квадрата . Можно ли оставшуюся часть доски разбить на фигурки вида ? (Все фигурки состоят из пяти клеточек , их можно поворачивать).

(Б.Трушин)

Второй день

11.5. Множество состоит из чисел

где — некоторое натуральное число. Докажите, что если два числа из являются членами возрастающей арифметической прогрессии, то найдется еще одно число из , также являющееся членом этой прогрессии.

(Н. Агаханов)

11.6. В круге площади 1001 два игрока по очереди проводят диаметры. Проигрывает тот, после хода, которого площадь какого-то из получившихся секторов меньше 1. Кто из игроков может обеспечить себе победу независимо от игры соперника?

(О. Подлипский)

11.7. Найдите геометрическое место точек , лежащих внутри куба , для которых в каждую из шести пирамид можно вписать в сферу.

(О. Подлипский)

11.8. Существуют ли такие действительные , что числа и оба целые?

(И.Богданов, В. Сендеров)