11 класс
Первый день
11.1. Пусть
— квадратные трехчлены с положительными коэффициентами, причем любые два из них имеют общий корень. Докажите, что .
(О. Подлипский)
11.2. На сторонах и
треугольника
выбрали точки
и
так, что четырехугольник
— вписанный, и радиусы окружностей, описанных около четырехугольника
и треугольника
, равны. Докажите, что ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника
совпадают с центром окружности, описанной около треугольника
.
(Н.А. Агаханов)
11.3. Сумма действительных чисел и
равна
, а сумма их попарных произведений равна
. Докажите неравенство
(А. Храбров)
11.4. От квадратной доски отрезали четыре угловых квадрата
. Можно ли оставшуюся часть доски разбить на фигурки вида
? (Все фигурки состоят из пяти клеточек
, их можно поворачивать).
(Б.Трушин)
Второй день
11.5. Множество состоит из чисел
где — некоторое натуральное число. Докажите, что если два числа из
являются членами возрастающей арифметической прогрессии, то найдется еще одно число из
, также являющееся членом этой прогрессии.
(Н. Агаханов)
11.6. В круге площади 1001 два игрока по очереди проводят диаметры. Проигрывает тот, после хода, которого площадь какого-то из получившихся секторов меньше 1. Кто из игроков может обеспечить себе победу независимо от игры соперника?
(О. Подлипский)
11.7. Найдите геометрическое место точек , лежащих внутри куба
, для которых в каждую из шести пирамид
можно вписать в сферу.
(О. Подлипский)
11.8. Существуют ли такие действительные , что числа
и
оба целые?
(И.Богданов, В. Сендеров)
1 Павел:
В 11.3 ошибка. Пример: x = 5, y = -1, z = -1.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2016 at 22:21
Спасибо, Вы правы, исправила.
[Ответить]