11 класс

Первый день

11.1. Пусть

ax^2+2bx+c,\ cx^2+2ax+b,\ bx^2+2cx+a

- квадратные трехчлены с положительными коэффициентами, причем любые два из них имеют общий корень. Докажите, что a = b = c.

(О. Подлипский)

11.2. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбрали точки M и N так, что четырехугольник AMNC – вписанный, и радиусы окружностей, описанных около четырехугольника AMNC и треугольника MBN, равны. Докажите, что ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника MBN совпадают с центром окружности, описанной около треугольника ABC.

(Н.А. Агаханов)

11.3. Сумма действительных чисел x, y и z равна 3, а сумма их попарных произведений равна a. Докажите неравенство

\displaystyle (x-1)^2\le 4\left(1-\frac{a}{3}\right).

(А. Храбров)

11.4. От квадратной доски 1001\times 1001 отрезали четыре угловых квадрата 2\times 2. Можно ли оставшуюся часть доски разбить на фигурки вида ? (Все фигурки состоит из пяти клеточек 1 1, их можно поворачивать).

(Б.Трушин)

Второй день

11.5. Множество S состоит из чисел

1,\ 1+b,\ 1+b+b^2,\ 1+b+b^2+b^3,\ldots,

где b – некоторое натуральное число. Докажите, что если два числа из S являются членами возрастающей арифметической прогрессии, то найдется еще одно число из S, также являющееся членом этой прогрессии.

(Н. Агаханов)

11.6. В круге площади 1001 два игрока по очереди проводят диаметры. Проигрывает тот, после хода, которого площадь какого-то из получившихся секторов меньше 1. Кто из игроков может обеспечить себе победу независимо от игры соперника?

(О. Подлипский)

11.7. Найдите геометрическое место точек P, лежащих внутри куба ABCDA’B'C’D’, для которых в каждую из шести пирамид PABCD, PABB’A', PBCC’B', PCDD’C', PDAA’D', PA’B'C’D’ можно вписать в сферу.

(О. Подлипский)

11.8. Существуют ли такие действительные x, что числа {\rm ctg}\, x и {\rm ctg}\, 2004x оба целые?

(И.Богданов, В. Сендеров)

Комментариев: 2

  1. 1 Павел:

    В 11.3 ошибка. Пример: x = 5, y = -1, z = -1.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, Вы правы, исправила.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение