10 класс

Первый день

10.1. На острове Невезения отменили понедельники. Известно, что в 2003 году ровно 8 четвергов на острове пришлось на наши четверги. Сколько таких совпадений будет в 2005 году?

(С. Токарев)

10.2. Пусть f(x), g(x), h(x) – три квадратных трехчлена с положительными старшими коэффициентами. Известно, что каждый из них имеет хотя бы один общий корень с суммой двух других. Докажите, что f(x), g(x), h(x) имеют общий корень.

(Жюри)

10.3. Какую наименьшую длину может иметь расположенная в пространстве замкнутая пятизвенная ломаная, все звенья которой различны по длине, а концы звеньев расположены в точках с целочисленными координатами?

(Н.А. Агаханов)

10.4. В остроугольном треугольнике ABC точка M – середина стороны BC, точки D и E – проекции точки M на стороны AB и AC соответственно. Окружности, описанные около треугольников ABE, ACD, пересекаются в точке K, отличной от A. Докажите, что AK\bot BC.

(Л. Емельянов, П. Кожевников)

Второй день

10.5. Докажите неравенство

a^n+b^n>(a+b)^n,

где a, b, n – действительные числа такие, что ab < 0, a + b > 0, n > 1.

(В. Сендеров)

10.6. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC делит диагональ BD пополам. Докажите, что произведение расстояний от точки внутри четырехугольника до его сторон будет наибольшим, если эта точка – середина диагонали AC.

(С. Спиридонов)

10.7. В компании из 2004 человек некоторые знакомы между собой. Известно, что два человека дружат, если они знакомы и у них есть общий знакомый. Назовем человека необщительным, если у него нет друзей. Назовем человека странным, если он имеет в этой компании 1003 знакомых, но при этом необщительный. Какое максимальное число странных людей может быть в этой компании?

(Е. Куликов)

10.8. Наибольшие делители трех последовательных натуральных нечетных чисел, отличные от них самих, образуют (в том же порядке) возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

(И. Богданов, А. Голованов)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение