9 класс

Первый день

9.1. Известно, что хотя бы один из трехчленов

x^2+ax+b, x^2+a^2x+b^2, … x^2+a^nx+b^n, \ldots

имеет вещественные корни. Докажите, что из этого множества трехчленов можно выбрать бесконечно много трехчленов, имеющих вещественные корни.

(Н. Агаханов)

9.2. Число, написанное на доске, каждую минуту либо удваивается, либо из него вычитается единица. После нескольких таких операций из числа 1 получено число 2002. Докажите, что в некоторый момент на доске было написано число с цифрой 3.

(Н. Агаханов)

9.3. В треугольнике ABC угол C – прямой, CD – высота. Биссектрисы углов ABC и ACD пересекаются в точке M, а биссектрисы углов BAC и BCD – в точке N. Докажите, что длина отрезка MN равна радиусу вписанной в треугольник ABC окружности.

(В. Чернявский)

9.4. В турнире по футболу, проведенному среди 20 команд из разных городов, каждая команда провела одну встречу дома и не более двух встреч на выезде. Докажите, что можно было так составить расписание игр, чтобы каждая команда играла не более одной игры в день и весь турнир прошел бы за три дня.

(В. Дольников)

Второй день

9.5. Даны простые числа p и q и натуральные числа x и y, причем x < p и y < q. Докажите, что если число \displaystyle\frac{p}{x}+\frac{q}{y} – целое, то x = y.

(А. Голованов)

9.6. Часы показывают время от 00.00 до 23.59. Петя написал программу, которая один раз в минуту увеличивает число, записанное в одном из окон на мониторе, на число минут, которое показывают часы. В начальный момент в окне было число 0. Через какое наименьшее время в окне могло появиться число 2001?

(Н. Агаханов)

9.7. Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, P – вторая точка пересечения окружности, проходящей через точки A, O, B с прямой BC (при этом точки расположены, как показано на рисунке). Докажите, что прямая AP касается окружности, проходящей через точки A, O, D.

(Л. Емельянов)

9.8. По окружности написано 2002 единицы. Два игрока по очереди делают ходы. Каждый ход состоит в том, что стираются какие-то два соседних числа и на их место записывается их сумма. Выигрывает тот, кто получит число 4. Если останется одно число, не равное 4, игра заканчивается вничью. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или его партнер?

(Е. Бурков)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение