8 класс

Первый день

8.1. По кругу стоит 2001 коробка. В каждой коробке лежат черные и белые шарики, а на коробке написано, сколько в ней черных шариков и сколько – белых. Игорь хочет переложить из каждой коробки по одному шарику в следующую (по часовой стрелке) коробку так, чтобы обе надписи на каждой из коробок стали неверными. Удастся ли ему это?

(И. Рубанов)

8.2. Коля перемножил два подряд идущих нечетных числа, а Вася перемножил три подряд идущих нечетных числа. Илг ли результат Коли оказаться на 2002 больше результата Васи?

(О. Подлипский, Д. Кузнецов)

8.3. Фрекен Бок поставила по кругу 50 вазочек с конфетами так, что количество конфет в любых двух соседних вазочках отличается ровно на 1. Если Карлсон находит две вазочки, в которых поровну конфет, он съедает все конфеты в обеих вазочках. Докажите, что Карлсон сможет опустошить не меньше 32 вазочек.

(И. Рубанов)

8.4. Докажите, что любой прямоугольник можно разрезать на не более чем 5 попарно различных равнобедренных треугольников.

(Л. Емельянов)

Второй день

8.5. Существует ли трехзначное число A, равное сумме двух чисел: суммы цифр числа A и произведения цифр числа A?

(Л. Емельянов)

8.6. Восстановите с помощью циркуля и линейки треугольник ABC по трем точкам: D,E,M, где точки D и E – середины высот AH и CP треугольника ABC, а точка M – середина стороны AC.

(Н. Агаханов)

8.7. По кругу расставлены числа 1, 2,\ldots, 2002 по порядку. Разрешается менять местами любые два стоящих рядом числа, разность которых по модулю больше 2. Можно ли за несколько таких операций добиться, чтобы эти числа шли в противоположном порядке?

(А. Гайфуллин)

8.8. Дано выражение, содержащее 999 дробей:

\displaystyle \frac{1}{2}*\frac{2}{3}*\frac{3}{4}*\ldots*\frac{999}{1000}.

Докажите, что все звездочки в нем можно заменить знаками арифметических действий так, чтобы получилось выражение, равное нулю.

(С. Токарев)

Комментариев: 12

  1. 1 димон:

    А в пятой можно использовать скобки?

    [Ответить]

    славик Reply:

    наверное нет, потому что с ними задача очень легкая

    [Ответить]

    димон Reply:

    кстате со скобками я решил уже двумя спосбами

    [Ответить]

  2. 2 никитос:

    какой это год?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    2001-2002 уч. год

    [Ответить]

  3. 3 алексей:

    Большое спасибо за такие задачи!

    [Ответить]

    алексей Reply:

    кстате какой это год?

    [Ответить]

    алексей Reply:

    а в пятой можно использовать скобки?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Алексей, это 2001-2002 г.

    [Ответить]

  4. 4 димон:

    ура я решил 5 без скобок!!!!

    [Ответить]

  5. 5 димон:

    хороший сайт правда мало добавляют………… добавте побольше олимпиад и сайт будет просто супер

    [Ответить]

  6. 6 Ян Альбертович Дененберг (Ktina):

    Решение задачи 8.8.
    \dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{5}+\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{6}{7}\times\dots\times\dfrac{24}{25}+\dfrac{25}{26}\cdot\dfrac{26}{27}\times\dots\times\dfrac{124}{125}-\dfrac{125}{126}\cdot\dfrac{126}{127}\times\dots\times\dfrac{249}{250}+\dfrac{250}{251}\cdot\dfrac{251}{252}\times\dots\times\dfrac{499}{500}-\dfrac{500}{501}\cdot\dfrac{501}{502}\times\dots\times\dfrac{999}{1000}=0
    Здесь опубликованы три решения: hippie, kknop и моё (Ktina): http://dxdy.ru/topic77723.html
    Спасибо товарищу Токареву, автору задачи!

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение