11 класс
Первый день
11.1. Решите неравенство
(И. Рубанов)
11.2. На большой доске написано число . Федя проделывает следующую операцию. Он выбирает число вида
, являющееся делителем числа, записанного на доске, и прибавляет выбранное число к записанному на доске. Результат записывается на доске, а исходное число стирается. Докажите, что независимо от выбираемых чисел, на доске когда-нибудь появится число
.
(И. Богданов)
11.3. Есть бусы, состоящие из бусинок (
— простое,
— натуральное,
). За ход бусы разбиваются на равные по длине куски, в каждом куске порядок следования бусинок меняется на обратный, и куски возвращаются на свои места. Любой ли порядок следования бусинок можно получить с помощью таких ходов?
(С. Спиридонов)
11.4. Пусть — тетраэдр,
— сфера, касающаяся всех его ребер. Две точки касания сферы
с ребрами тетраэдра
соединим отрезком тогда и только тогда, когда они лежат на одной грани тетраэдра. Докажите, что сумма всех таких отрезков меньше, чем
где — центр сферы
.
(Н. Агаханов, А. Гайфуллин)
Второй день
11.5. Коэффициенты и
квадратного уравнения
являются степенями двойки. Докажите, что если корни этого уравнения — целые числа, то эти корни совпадают.
(Н. Агаханов)
11.6. Дан треугольник . Окружность
с центром на отрезке
проходит через точку
и пересекает вторично отрезки
и
в точках
и
соответственно. Окружность
с центром на отрезке
проходит через точку
и пересекает вторично отрезки
и
в точках
и
соответственно. Известно, что окружности
и
касаются в точке
внешним образом. Докажите, что
.
(Т. Емельянова)
11.7. Множество натуральных чисел разбито на 2002 бесконечные попарно не пересекающиеся арифметические прогрессии. Верно ли, что у каждой из этих прогрессий разность прогрессии не меньше первого члена прогрессии?
(П. Кожевников)
11.8. Существуют ли такие четыре многочлена, что сумма любых трех из них имеет хотя бы один корень, а сумма любых двух не имеет корней?
(И. Исмагилов)
Оставьте свой отзыв