11 класс

Первый день

11.1. Решите неравенство

\sin x \le {\rm tg}\, x \le {\rm ctg}\, x \le \cos x.

(И. Рубанов)

11.2. На большой доске написано число 1000!. Федя проделывает следующую операцию. Он выбирает число вида n!, являющееся делителем числа, записанного на доске, и прибавляет выбранное число к записанному на доске. Результат записывается на доске, а исходное число стирается. Докажите, что независимо от выбираемых чисел, на доске когда-нибудь появится число 2002!.

(И. Богданов)

11.3. Есть бусы, состоящие из p^n бусинок (p – простое, n – натуральное, n > 2). За ход бусы разбиваются на равные по длине куски, в каждом куске порядок следования бусинок меняется на обратный, и куски возвращаются на свои места. Любой ли порядок следования бусинок можно получить с помощью таких ходов?

(С. Спиридонов)

11.4. Пусть ABCD – тетраэдр, \omega – сфера, касающаяся всех его ребер. Две точки касания сферы \omega с ребрами тетраэдра ABCD соединим отрезком тогда и только тогда, когда они лежат на одной грани тетраэдра. Докажите, что сумма всех таких отрезков меньше, чем

3(AI+BI+CI+DI),

где I – центр сферы \omega.

(Н. Агаханов, А. Гайфуллин)

Второй день

11.5. Коэффициенты a, b и c квадратного уравнения ax^2-bx+c = 0 являются степенями двойки. Докажите, что если корни этого уравнения – целые числа, то эти корни совпадают.

(Н. Агаханов)

11.6. Дан треугольник ABC. Окружность \omega_1 с центром на отрезке AB проходит через точку A и пересекает вторично отрезки AB и AC в точках A_1 и A_2 соответственно. Окружность \omega_2 с центром на отрезке BC проходит через точку C и пересекает вторично отрезки BC и AC в точках C_1 и C_2 соответственно. Известно, что окружности \omega_1 и \omega_2 касаются в точке K внешним образом. Докажите, что \angle A_1KC_1 = \angle A_2KC_2.

(Т. Емельянова)

11.7. Множество натуральных чисел разбито на 2002 бесконечные попарно не пересекающиеся арифметические прогрессии. Верно ли, что у каждой из этих прогрессий разность прогрессии не меньше первого члена прогрессии?

(П. Кожевников)

11.8. Существуют ли такие четыре многочлена, что сумма любых трех из них имеет хотя бы один корень, а сумма любых двух не имеет корней?

(И. Исмагилов)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение