11 класс
Первый день
11.1. Решите неравенство
(И. Рубанов)
11.2. На большой доске написано число 
. Федя проделывает следующую операцию. Он выбирает число вида 
, являющееся делителем числа, записанного на доске, и прибавляет выбранное число к записанному на доске. Результат записывается на доске, а исходное число стирается. Докажите, что независимо от выбираемых чисел, на доске когда-нибудь появится число 
.
(И. Богданов)
11.3. Есть бусы, состоящие из 
бусинок (
– простое, 
– натуральное, 
). За ход бусы разбиваются на равные по длине куски, в каждом куске порядок следования бусинок меняется на обратный, и куски возвращаются на свои места. Любой ли порядок следования бусинок можно получить с помощью таких ходов?
(С. Спиридонов)
11.4. Пусть 
– тетраэдр, 
– сфера, касающаяся всех его ребер. Две точки касания сферы с ребрами тетраэдра соединим отрезком тогда и только тогда, когда они лежат на одной грани тетраэдра. Докажите, что сумма всех таких отрезков меньше, чем
где 
– центр сферы .
(Н. Агаханов, А. Гайфуллин)
Второй день
11.5. Коэффициенты 
и 
квадратного уравнения 
являются степенями двойки. Докажите, что если корни этого уравнения – целые числа, то эти корни совпадают.
(Н. Агаханов)
11.6. Дан треугольник 
. Окружность 
с центром на отрезке 
проходит через точку 
и пересекает вторично отрезки и 
в точках 
и 
соответственно. Окружность 
с центром на отрезке 
проходит через точку 
и пересекает вторично отрезки и в точках 
и 
соответственно. Известно, что окружности и касаются в точке 
внешним образом. Докажите, что 
.
(Т. Емельянова)
11.7. Множество натуральных чисел разбито на 2002 бесконечные попарно не пересекающиеся арифметические прогрессии. Верно ли, что у каждой из этих прогрессий разность прогрессии не меньше первого члена прогрессии?
(П. Кожевников)
11.8. Существуют ли такие четыре многочлена, что сумма любых трех из них имеет хотя бы один корень, а сумма любых двух не имеет корней?
(И. Исмагилов)
Оставьте свой отзыв