Математика, которая мне нравится

Первый день

11.1. Решите неравенство

(И. Рубанов)

11.2. На большой доске написано число . Федя проделывает следующую операцию. Он выбирает число вида , являющееся делителем числа, записанного на доске, и прибавляет выбранное число к записанному на доске. Результат записывается на доске, а исходное число стирается. Докажите, что независимо от выбираемых чисел, на доске когда-нибудь появится число .

(И. Богданов)

11.3. Есть бусы, состоящие из бусинок ( — простое, — натуральное, ). За ход бусы разбиваются на равные по длине куски, в каждом куске порядок следования бусинок меняется на обратный, и куски возвращаются на свои места. Любой ли порядок следования бусинок можно получить с помощью таких ходов?

(С. Спиридонов)

11.4. Пусть — тетраэдр, — сфера, касающаяся всех его ребер. Две точки касания сферы с ребрами тетраэдра соединим отрезком тогда и только тогда, когда они лежат на одной грани тетраэдра. Докажите, что сумма всех таких отрезков меньше, чем

где — центр сферы .

(Н. Агаханов, А. Гайфуллин)

Второй день

11.5. Коэффициенты и квадратного уравнения являются степенями двойки. Докажите, что если корни этого уравнения — целые числа, то эти корни совпадают.

(Н. Агаханов)

11.6. Дан треугольник . Окружность с центром на отрезке проходит через точку и пересекает вторично отрезки и в точках и соответственно. Окружность с центром на отрезке проходит через точку и пересекает вторично отрезки и в точках и соответственно. Известно, что окружности и касаются в точке внешним образом. Докажите, что .

(Т. Емельянова)

11.7. Множество натуральных чисел разбито на 2002 бесконечные попарно не пересекающиеся арифметические прогрессии. Верно ли, что у каждой из этих прогрессий разность прогрессии не меньше первого члена прогрессии?

(П. Кожевников)

11.8. Существуют ли такие четыре многочлена, что сумма любых трех из них имеет хотя бы один корень, а сумма любых двух не имеет корней?

(И. Исмагилов)