Математика, которая мне нравится

Первый день

11.1. Решите неравенство

(И. Рубанов)

11.2. На большой доске написано число 1000!. Федя проделывает следующую операцию. Он выбирает число вида n!, являющееся делителем числа, записанного на доске, и прибавляет выбранное число к записанному на доске. Результат записывается на доске, а исходное число стирается. Докажите, что независимо от выбираемых чисел, на доске когда-нибудь появится число 2002!.

(И. Богданов)

11.3. Есть бусы, состоящие из p^n бусинок (p – простое, n – натуральное, n > 2). За ход бусы разбиваются на равные по длине куски, в каждом куске порядок следования бусинок меняется на обратный, и куски возвращаются на свои места. Любой ли порядок следования бусинок можно получить с помощью таких ходов?

(С. Спиридонов)

11.4. Пусть ABCD – тетраэдр, \omega – сфера, касающаяся всех его ребер. Две точки касания сферы \omega с ребрами тетраэдра ABCD соединим отрезком тогда и только тогда, когда они лежат на одной грани тетраэдра. Докажите, что сумма всех таких отрезков меньше, чем

где I – центр сферы \omega.

(Н. Агаханов, А. Гайфуллин)

Второй день

11.5. Коэффициенты a, b и c квадратного уравнения ax^2-bx+c = 0 являются степенями двойки. Докажите, что если корни этого уравнения – целые числа, то эти корни совпадают.

(Н. Агаханов)

11.6. Дан треугольник ABC. Окружность \omega_1 с центром на отрезке AB проходит через точку A и пересекает вторично отрезки AB и AC в точках A_1 и A_2 соответственно. Окружность \omega_2 с центром на отрезке BC проходит через точку C и пересекает вторично отрезки BC и AC в точках C_1 и C_2 соответственно. Известно, что окружности \omega_1 и \omega_2 касаются в точке K внешним образом. Докажите, что \angle A_1KC_1 = \angle A_2KC_2.

(Т. Емельянова)

11.7. Множество натуральных чисел разбито на 2002 бесконечные попарно не пересекающиеся арифметические прогрессии. Верно ли, что у каждой из этих прогрессий разность прогрессии не меньше первого члена прогрессии?

(П. Кожевников)

11.8. Существуют ли такие четыре многочлена, что сумма любых трех из них имеет хотя бы один корень, а сумма любых двух не имеет корней?

(И. Исмагилов)