10 класс

Первый день

10.1. Решите неравенство

\sin x \le {\rm tg}\, x \le {\rm  ctg}\, x \le \cos x.

(И. Рубанов)

10.2. Юра и Федя стоят у большой доски и играют в следующую игру. В начале на доске написано число 1000!. Игроки по очереди проделывают следующую операцию. Выбирается число вида n!, являющееся делителем числа, написанного на доске, и прибавляется к написанному на доске. Результат записывается на доску, а исходное число стирается. Выигрывает тот, после чьего хода число на доске станет равным 2002! (если оно стало больше 2002!, то ничья). Кто может гарантировать себе выигрыш и как, если Юра ходит первым?

(И. Богданов)

10.3. Окружность \omega проходит через вершины B, C и центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Второй раз \omega пересекает прямую AB в точке B_1, а AC – в точке C_1. Докажите, что длины отрезков BB_1 и CC_1 равны.

(Фольклор)

10.4. В турнире по футболу, проведенному среди 20 команд из разных городов, каждая команда провела одну встречу дома и не более двух встреч на выезде. Докажите, что можно было так составить расписание игр, чтобы каждая команда играла не более одной игры дома и весь турнир прошел бы за три дня.

(В. Дольников)

Второй день

10.5. Даны простые числа p и q и натуральные числа x и y, причем x < p и y < q. Докажите, что если число \displaystyle\frac{p}{x}+\frac{q}{y} – целое, то x = y.

(А. Голованов)

10.6. В таблице 6\times6 расставлены натуральные числа от 1 до 36, причем каждое число встречается ровно один раз. Верно ли, что можно выбрать два таких соседних числа, стоящих в одной строке, что если взять меньшее из них в качестве коэффициента p, а большее – в качестве коэффициента q в квадратном трехчлене x^2+px+q, то полученный трехчлен будет иметь различные действительные корни?

(О. Подлипский)

10.7. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник; S_{AB}, S_{BC}, S_{CD}, S_{DA} – окружности, построенные на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно как на диаметрах. Известно, что окружность S_{AB} касается окружности S_{CD}, а окружность S_{BC} касается окружности S_{DA}. Докажите, что ABCD – ромб.

(А. Глазырин)

10.8. Существуют ли такие четыре многочлена, что сумма любых трех из них имеет хотя бы один корень, а сумма любых двух не имеет корней?

(И. Исмагилов)

Один комментарий

  1. 1 Ян Альбертович Дененберг:

    Задаача 10.1.

    Тангенс и котангенс взаимообратны. А поскольку все четыре числа по модулю не превышаают 1, мы остаёмся с двумя вариантами – тангенс и котангенс либо оба равны 1, либо оба равны (-1).

    В первом случае косинус равен 1, но тогда и синус должен быть равен 1, поскольку тангенс – это синус, разелённый на косинус. А синус и косинус не могут одновременно быть равными 1.

    Во втором случае синус равен (-1), но тогда косинус должен быть равен 1, поскольку тангенс – это синус, разелённый на косинус. А синус и косинус не могут одновременно быть по модулю равными 1.

    Ответ:
    Решений нет!

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение