9 класс

Первый день

9.1. На доске записан трехчлен

$p(x)=ax^2+bx+c,\ a\ne0 .$

Вместо трехчлена $p(x)$ записывают трехчлен $\displaystyle \frac{p(x+1)+p(x-1)}{2}$ , а исходный трехчлен стирают. Докажите, что через несколько таких замен получится трехчлен, не имеющий корней.

Показать решение

(А. Белов)

9.2. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $M$ и $N$ так, что $BM=MN=NC$ . Отрезки $MM_1$ и $NN_1$ — биссектрисы треугольника $AMN$ . Докажите, что $M_1N_1\parallel BC$ .

(И. Исмагилов)

Показать решение

9.3. Даны 10 различных чисел. Из 45 их попарных сумм 40 оказались целыми числами. Докажите, что и пять оставшихся сумм также являются целыми.

(Р. Женодаров)

Показать решение

9.4. В некоторой стране из каждого города выходит по крайней мере одна дорога (каждая дорога соединяет ровно два города).

Город назовем захолустным, если из него выходит ровно одна дорога. В стране нельзя выйти из какого-то города и, пройдя по замкнутому маршруту, вернуться в исходный.

Города страны разбиты на две части так, что никакие два города в одной части не соединены дорогой. Пусть в первой части городов не меньше, чем во второй. Докажите, что в первой части есть захолустный город.

(В. Дольников)

Показать решение

Сначала докажем, что в стране имеется захолустный город.

Выберем в стране путь, проходящий через наибольшее число городов, причем через каждый город — по одному разу. Тогда начало и конец этого пути будут захолустными городами (иначе этот путь не проходил бы через наибольшее число городов).

Далее будем доказывать утверждение задачи по индукции по числу городов в стране.

Пусть в стране $n=2$ города. Тогда каждый из них захолустный.

Предположим, что утверждение доказано для числа городов $n\le m-1$ . Докажем его для $n=m$ . Рассмотрим захолустный город. Если он находится в первой части, то утверждение доказано. Пусть он находится во второй части. Удалим этот город. Тогда возможны два случая.

1) Этот захолустный город соединен с незахолустным городом в той стране, которая теперь получилась. Тогда теперь во второй части городов осталось меньше, чем в первой. По индукционному предположению в получившейся стране в первой части есть захолустный город. Этот город будет также захолустным и в исходной стране.

2) Этот захолустный город соединен с захолустным городом получившейся страны. Удалим этот захолустный город, который может быть соединен только с городом из второй части получившейся страны. По индукционному предположению (мы убрали по одному городу из каждой части страны), в получившейся стране, в которой на 2 города меньше, чем в исходной, в первой части имеется захолустный город. Он и будет искомым захолустным городом, поскольку он является захолустным и в исходной стране.

Утверждение доказано.

Второй день

9.5. Может ли число, составленное только из цифр $2$ и $0$ , быть степенью выше первой натурального числа?

(Р. Женодаров)

Показать решение

9.6. Существуют ли нечетные числа $x,y,z$ такие, что $xy+1,yz+1,zx+1$ — полные квадраты?

(В. Сендеров)

Показать решение

9.7. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega$ . Продолжения противоположных сторон этого четырехугольника пересекаются в точках $K$ и $N$ . Докажите, что окружность, описанная около треугольника $AKN$ , касается окружности $\omega$ тогда и только тогда, когда окружность, описанная около треугольника $CKN$ , касается окружности $\omega$ .

(Л. Емельянов)

Показать решение

9.8. Внутри треугольника с вершинами в узлах целочисленной решетки находится ровно один узел. Какое наибольшее количество узлов может лежать на сторонах треугольника (включая вершины треугольника)?

(А. Голованов)

Показать решение

(картинка нарисована здесь).

Ответ. Может быть 9 узлов на сторонах, считая вершины. Пример Вы можете видеть на рисунке.

Докажем, что больше узлов быть не может.

Узлы решетки, которые лежат на сторонах треугольника, разбивают стороны на равные отрезки. Возможны два случая.

1) Внутри какой-либо стороны лежат по меньшей мере три узла, а внутри другой стороны — по меньшей мере два узла. Тогда внутри треугольника лежит не меньше трех узлов. В самом деле, пусть на стороне $AB$ треугольника лежат узлы $C_1,C_2,C_3$ , отличные от $A$ и $B$ и такие, что $AC_1=C_1C_2=C_2C_3$ , а на стороне $AC$ — узлы $B_1,B_2,B_3$ такие, что $AB_1=B_1B_2=B_2B_3$ ( $B_3$ может совпадать с $C$ ). Тогда узлами решетки будут середина отрезка $B_2C_2$ и точки, делящие $B_3C_3$ на три равные части).

2) Внутри какой-либо стороны (скажем, $AB$ ) нашего $\Delta ABC$ лежит по меньшей мере 5 узлов, а внутри оставшихся — не более чем по одному. Соединим узел $O$ (узел внутри треугольника) со всеми узлами на сторонах. Тем самым, треугольник разобьется на маленькие треугольники с вершинами в узлах, у которых нет узлов ни внутри, ни на границе. Площадь каждого из этих треугольников равна $1/2$ . Тогда площадь $\Delta OAB$ больше суммы площадей треугольников $OAC$ и $OBC$ . Отношение площади $\Delta OAB$ к площади каждого из этих треугольников равно отношению длины части луча $CO$ , лежащей внутри $\Delta ABC$ , к отрезку $OC$ . Тем самым, точка, симметричная $C$ относительно $O$ , лежит внутри $\Delta AOB$ , и это узел.