Первый день
9.1. На доске записан трехчлен
![Rendered by QuickLaTeX.com \[p(x)=ax^2+bx+c,\ a\ne0 .\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1cc4ae4afdd595e158fef77ce4b2aeb5_l3.png)
Вместо трехчлена
записывают трехчлен
, а исходный трехчлен стирают. Докажите, что через несколько таких замен получится трехчлен, не имеющий корней.
Показать решение
Поскольку
, а
, то
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{p(x+1)+p(x-1)}{2}=ax^2+bx+(c+a) .\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-75e3c9a1f3a4d61f1322d58bf93bd5db_l3.png)
Таким образом, после
замен получится трехчлен
![Rendered by QuickLaTeX.com \[ax^2+bx+(c+ka).\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e24e74fe6e78ce62dd892ed8566e3fc_l3.png)
Найдем его дискриминант:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[{\cal D}_k=b^2-4a(c+ka)=(b^2-4ac)-4ka^2= {\cal D}-4k^2a\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c870956aa366a67bf96a104bd0c04ea4_l3.png)
(здесь
— дискриминант исходного трехчлена).
Очевидно, что при достаточно больших
(в частности, при
) получим трехчлен с отрицательным дискриминантом.
(А. Белов)
9.2. На сторонах
и
треугольника
взяты соответственно точки
и
так, что
. Отрезки
и
— биссектрисы треугольника
. Докажите, что
.
(И. Исмагилов)
Показать решение

Для того чтобы доказать, что прямые
и
параллельны, докажем, что
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{AB}{AN_1}=\frac{AC}{AM_1} .\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cd376a3d8958bf36fb04f224ab8df3b0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{AB}{AM}=\frac{AM+MB}{AM}=1+\frac{MB}{AM}=1+\frac{MN}{AM}=\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-980a864fd1ec38cd6be21c6e7d2f0650_l3.png)
(здесь воспользуемся тем, что биссектриса угла
делит противоположную сторону треугольника
в отношении, равном отношению длин сторон
и
, т.е.
)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[=1+\frac{M_1N}{AM_1}=\frac{AM_1+M_1N}{AM_1}=\frac{AN}{AM_1} .\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-66d18b8af7dbed358695f4636f61baf2_l3.png)
Аналогично получаем, что
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{AC}{AN}=\frac{AM}{AN_1} .\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-98c54cc9dcf5f777438c6299214898d4_l3.png)
Тогда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{AC}{AM_1}=\frac{AC}{AN}\cdot\frac{AN}{AM_1}=\frac{AM}{AN_1}\cdot\frac{AB}{AM}=\frac{AB}{AN_1} ,\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd96f0d6324da782e08300f55a5c90ff_l3.png)
что и требовалось доказать.
9.3. Даны 10 различных чисел. Из 45 их попарных сумм 40 оказались целыми числами. Докажите, что и пять оставшихся сумм также являются целыми.
(Р. Женодаров)
Показать решение
Пусть эти числа
. Сумма двух чисел является целым числом тогда и только тогда, когда сумма их дробных частей равна нулю или единице.
Если все десять чисел имеют одинаковые дробные части (либо
, либо
), то тогда все 45 их попарных сумм — целые числа.
Предположим теперь, что среди десяти данных чисел есть два, у которых дробные части не равны. Пусть это числа
и
. Возьмем еще одно число
(
). Докажем, что одно из чисел
не является целым. Предположим, что оба эти числа целые. Тогда их разность — также целое число. А значит, разность их дробных частей может быть равна только нулю, что невозможно, поскольку они различны.
Таким образом, взяв каждое из восьми оставшихся чисел (
), находим восемь чисел, которые не являются целыми (сумма одного из этих чисел либо с
, либо с
не является целым числом). А по условию, не целых чисел может быть не больше пяти. Получили противоречие, которое и доказывает утверждение задачи.
9.4. В некоторой стране из каждого города выходит по крайней мере одна дорога (каждая дорога соединяет ровно два города).
Город назовем захолустным, если из него выходит ровно одна дорога. В стране нельзя выйти из какого-то города и, пройдя по замкнутому маршруту, вернуться в исходный.
Города страны разбиты на две части так, что никакие два города в одной части не соединены дорогой. Пусть в первой части городов не меньше, чем во второй. Докажите, что в первой части есть захолустный город.
(В. Дольников)
Показать решение
Сначала докажем, что в стране имеется захолустный город.
Выберем в стране путь, проходящий через наибольшее число городов, причем через каждый город — по одному разу. Тогда начало и конец этого пути будут захолустными городами (иначе этот путь не проходил бы через наибольшее число городов).
Далее будем доказывать утверждение задачи по индукции по числу городов в стране.
Пусть в стране
города. Тогда каждый из них захолустный.
Предположим, что утверждение доказано для числа городов
. Докажем его для
. Рассмотрим захолустный город. Если он находится в первой части, то утверждение доказано. Пусть он находится во второй части. Удалим этот город. Тогда возможны два случая.
1) Этот захолустный город соединен с незахолустным городом в той стране, которая теперь получилась. Тогда теперь во второй части городов осталось меньше, чем в первой. По индукционному предположению в получившейся стране в первой части есть захолустный город. Этот город будет также захолустным и в исходной стране.
2) Этот захолустный город соединен с захолустным городом получившейся страны. Удалим этот захолустный город, который может быть соединен только с городом из второй части получившейся страны. По индукционному предположению (мы убрали по одному городу из каждой части страны), в получившейся стране, в которой на 2 города меньше, чем в исходной, в первой части имеется захолустный город. Он и будет искомым захолустным городом, поскольку он является захолустным и в исходной стране.
Утверждение доказано.
Второй день
9.5. Может ли число, составленное только из цифр
и
, быть степенью выше первой натурального числа?
(Р. Женодаров)
Показать решение
Пусть такое число существует. Пусть оно оканчивается
нулями. Тогда в его разложение на простые множители
входит в
-й степени, а
— в
-й степени. В самом деле,
нулей дают
, и если поделить исходное число на
, то частное будет делиться на
(поскольку исходное число состоит только из цифр
и
, то после деления на
останется число, состоящее только из нулей и единиц, оканчивающееся на
— оно на
не делится).
Таким образом
является некоторой степенью целого числа, т.е.
, откуда
— общий делитель чисел
и
, а это возможно только если
.
9.6. Существуют ли нечетные числа
такие, что
— полные квадраты?
(В. Сендеров)
Показать решение
Поскольку
— нечетные числа, то все три числа
— четные, а так как они являются полными квадратами, то каждое из них делится на
. Следовательно, каждое из произведений
при делении на
дает остаток
. Тогда разности этих произведений
кратны четырем, и поскольку
— числа нечетные, то разности
делятся на
. Откуда следует, что числа
при делении на
дают одинаковые остатки (либо
, либо
, поскольку они нечетны).
Пусть все они дают при делении на
остаток
. Тогда произведение любых двух из этих чисел при делении на
дает остаток
, а не
, как требуется.
Пусть каждое из этих чисел дает при делении на
остаток
. Тогда произведение любых двух из них дает при делении на
остаток
.
Тем самым, таких чисел не существует.
9.7. Четырехугольник
вписан в окружность
. Продолжения противоположных сторон этого четырехугольника пересекаются в точках
и
. Докажите, что окружность, описанная около треугольника
, касается окружности
тогда и только тогда, когда окружность, описанная около треугольника
, касается окружности
.
(Л. Емельянов)
Показать решение
9.8. Внутри треугольника с вершинами в узлах целочисленной решетки находится ровно один узел. Какое наибольшее количество узлов может лежать на сторонах треугольника (включая вершины треугольника)?
(А. Голованов)
Показать решение

(картинка нарисована здесь).
Ответ. Может быть 9 узлов на сторонах, считая вершины. Пример Вы можете видеть на рисунке.
Докажем, что больше узлов быть не может.
Узлы решетки, которые лежат на сторонах треугольника, разбивают стороны на равные отрезки. Возможны два случая.
1) Внутри какой-либо стороны лежат по меньшей мере три узла, а внутри другой стороны — по меньшей мере два узла. Тогда внутри треугольника лежит не меньше трех узлов. В самом деле, пусть на стороне
треугольника лежат узлы
, отличные от
и
и такие, что
, а на стороне
— узлы
такие, что
(
может совпадать с
). Тогда узлами решетки будут середина отрезка
и точки, делящие
на три равные части).
2) Внутри какой-либо стороны (скажем,
) нашего
лежит по меньшей мере 5 узлов, а внутри оставшихся — не более чем по одному. Соединим узел
(узел внутри треугольника) со всеми узлами на сторонах. Тем самым, треугольник разобьется на маленькие треугольники с вершинами в узлах, у которых нет узлов ни внутри, ни на границе. Площадь каждого из этих треугольников равна
. Тогда площадь
больше суммы площадей треугольников
и
. Отношение площади
к площади каждого из этих треугольников равно отношению длины части луча
, лежащей внутри
, к отрезку
. Тем самым, точка, симметричная
относительно
, лежит внутри
, и это узел.
В других случаях больше 9 узлов на сторонах треугольника быть не может.
1 Анастасія:
ответы есть*?
[Ответить]
9 Декабрь 2011, 22:152 Елизавета Александровна Калинина:
Ответы есть, и решения есть. А вот времени их добавить пока нет ( . Думаю, что сделаю это чуть позже…
[Ответить]
9 Декабрь 2011, 23:163 Анастасія:
Пожалуйста киньте на почту…очень срочно нужно..на завтра((
[Ответить]
10 Декабрь 2011, 0:344 Елизавета Александровна Калинина:
К сожалению, они у меня только в бумажном виде… Думаю, в сети можно найти.
[Ответить]
10 Декабрь 2011, 10:025 Анастасія:
Пожалуйста киньте ссылку а-то не могу нигде найти
[Ответить]
10 Декабрь 2011, 16:086 Елизавета Александровна Калинина:
Может, вот тут: http://www.twirpx.com/file/140374/ получится?
[Ответить]
10 Декабрь 2011, 18:357 Анастасія:
не получается((
[Ответить]
17 Декабрь 2011, 23:498 Елизавета Александровна Калинина:
Анастасiя, Вы уж давно бы сами решили!
Постараюсь хоть что-то отсюда выложить поскорее…
[Ответить]
18 Декабрь 2011, 10:579 Анастасія:
я уже давно это сделала))
[Ответить]
18 Декабрь 2011, 13:1210 Елизавета Александровна Калинина:
Тогда Вы молодец!
Сверяйтесь!
Да, решения возможны и другие, разумеется.
[Ответить]
18 Декабрь 2011, 20:55