9 класс

Первый день

9.1. На доске записан трехчлен

    \[p(x)=ax^2+bx+c,\ a\ne0 .\]

Вместо трехчлена

    \[p(x)\]

записывают трехчлен

    \[\displaystyle \frac{p(x+1)+p(x-1)}{2}\]

, а исходный трехчлен стирают. Докажите, что через несколько таких замен получится трехчлен, не имеющий корней.

Показать решение

(А. Белов)

9.2. На сторонах

    \[AB\]

и

    \[AC\]

треугольника

    \[ABC\]

взяты соответственно точки

    \[M\]

и

    \[N\]

так, что

    \[BM=MN=NC\]

. Отрезки

    \[MM_1\]

и

    \[NN_1\]

– биссектрисы треугольника

    \[AMN\]

. Докажите, что

    \[M_1N_1\parallel BC\]

.

(И. Исмагилов)

Показать решение

9.3. Даны 10 различных чисел. Из 45 их попарных сумм 40 оказались целыми числами. Докажите, что и пять оставшихся сумм также являются целыми.

(Р. Женодаров)

Показать решение

9.4. В некоторой стране из каждого города выходит по крайней мере одна дорога (каждая дорога соединяет ровно два города).

Город назовем захолустным, если из него выходит ровно одна дорога. В стране нельзя выйти из какого-то города и, пройдя по замкнутому маршруту, вернуться в исходный.

Города страны разбиты на две части так, что никакие два города в одной части не соединены дорогой. Пусть в первой части городов не меньше, чем во второй. Докажите, что в первой части есть захолустный город.

(В. Дольников)

Показать решение

Второй день

9.5. Может ли число, составленное только из цифр 2 и 0, быть степенью выше первой натурального числа?

(Р. Женодаров)

Показать решение

9.6. Существуют ли нечетные числа

    \[x,y,z\]

такие, что

    \[xy+1,yz+1,zx+1\]

– полные квадраты?

(В. Сендеров)

Показать решение

9.7. Четырехугольник

    \[ABCD\]

вписан в окружность

    \[\omega\]

. Продолжения противоположных сторон этого четырехугольника пересекаются в точках

    \[K\]

и

    \[N\]

. Докажите, что окружность, описанная около треугольника

    \[AKN\]

, касается окружности

    \[\omega\]

тогда и только тогда, когда окружность, описанная около треугольника

    \[CKN\]

, касается окружности

    \[\omega\]

.

(Л. Емельянов)

Показать решение

9.8. Внутри треугольника с вершинами в узлах целочисленной решетки находится ровно один узел. Какое наибольшее количество узлов может лежать на сторонах треугольника (включая вершины треугольника)?

(А. Голованов)

Показать решение

Комментариев: 10

  1. 1 Анастасія:

    ответы есть*?

    [Ответить]

  2. 2 Елизавета Александровна Калинина:

    Ответы есть, и решения есть. А вот времени их добавить пока нет ( . Думаю, что сделаю это чуть позже…

    [Ответить]

  3. 3 Анастасія:

    Пожалуйста киньте на почту…очень срочно нужно..на завтра((

    [Ответить]

  4. 4 Елизавета Александровна Калинина:

    К сожалению, они у меня только в бумажном виде… Думаю, в сети можно найти.

    [Ответить]

  5. 5 Анастасія:

    Пожалуйста киньте ссылку а-то не могу нигде найти

    [Ответить]

  6. 7 Анастасія:

    не получается((

    [Ответить]

  7. 8 Елизавета Александровна Калинина:

    Анастасiя, Вы уж давно бы сами решили! :) Постараюсь хоть что-то отсюда выложить поскорее…

    [Ответить]

  8. 9 Анастасія:

    я уже давно это сделала))

    [Ответить]

  9. 10 Елизавета Александровна Калинина:

    Тогда Вы молодец! ;) Сверяйтесь! :) Да, решения возможны и другие, разумеется.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение