Математика, которая мне нравится

Первый день

8.1. Натуральное число назовем палиндромом, если оно читается одинаково слева направо и справа нелево. Найти все простые числа – палиндромы, содержащие в своей записи четное количество знаков.

(Д. Кузнецов)

8.2. Даны угод в 60^{\circ} и угольник, с помощью которого можно проводить прямую чрез две точки и проводить через точку прямую, перпендикулярную любой из нарисованных прямых.

Разделите с помощью угольника данный угол (в 60^{\circ}) пополам.

(Н. Агаханов)

8.3. Коля задумал 10 целых чисел (не обязательно различных), а затем вычилил все возможные суммы любых девяти чисел из этих десяти . У Коли поучились числа: 92, 93,\ldots,100 (повторяющиеся суммы Коля назвал только один раз). Какие числа он задумал?

(Д. Терёшин)

8.4. Некоторая страна, в которой n городов и из каждого города в другие выходит не менее k дорог (каждая дорога соединяет ровно два города и каждые два города соединены не более, чем одной дорогой), была разбита на m частей так, что в каждой части никакие два города не соединены дорогой. Докажите, что \displaystyle m\ge\frac{n}{n-k}.

(В. Дольников)

Второй день

8.5. На всех клетках доски n\times n\ (n>1) расставлены фишки трех цветов. Оказалось, что рядом с любой фишкой стоят фишки обоих других цветов. Докажите, что какие-то фишки одного цвета стоят рядом (две фишки стоят рядом, если они стоят в клетках, имеющих общую сторону).

(С. Берлов)

8.6. Существуют ли попарно различные не равные нулю цифры a,b,c такие, что \overline{ab}\vdots c,\overline{bc}\vdots a, \overline{ca}\vdots b (\overline{mn} – двузначное число с цифрами m и n)?

(А. Белов)

8.7. Точка O – центр окружности, вписанной в четырехугольник ABCD . Докажите, что если периметры треугольников AOB,BOC и COD равны, то ABCD – ромб.

(Н. Агаханов)

8.8. Улитка движется по поверхности куба, переползая от вершины к вершине по ребру или по диагонали грани. Найдите протяженность самого длинного пути из одной вершины куба в противоположную (наиболее удаленную вершину), если запрещается пересекать свой путь и проходить через одну вершину дважды.

(Л. Емельянов)