11 класс

Первый день

11.1. Синусы углов треугольника рациональны. Докажите, что их косинусы также рациональны.

(А. Голованов)

11.2. Окружности $s_1$ и $s_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$ . Пусть $M$ — произвольная точка окружности $s_1$ , $MA$ пересекается с $s_2$ в точке $P$ , а $MB$ пересекается с $s_2$ в точке $Q$ . Докажите, что если четырехугольник $AO_1BO_2$ можно вписать в окружность, то $AQ$ и $BP$ пересекаются на $s_1$ .

(Л. Емельянов)

11.3. Существует ли многочлен $P(x)$ 2001-й степени такой, что $P(x^2-1)$ делится на $P(x)$ ?

(А. Голованов, В. Сендеров)

11.4. В стране 64 города. Широта и долгота каждого города измеряются целым числом градусов от $1$ до $8$ . Два города соединены двусторонним авиарейсом тогда и только тогда, когда они либо имеют одинаковую широту, а их долгота отличается на $1^{\circ}$ , либо имеют одинаковую долготу, а их широта отличается на $1^{\circ}$ . Какое наибольшее число авиарейсов можно отменить, чтобы из любого города в любой другой можно было попасть, совершив не более 14 перелетов?

(Р. Женодаров)

Второй день

11.5. Известно, что для чисел $a,b,c$ выполняется двойное неравенство

$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\ge \frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a} .$

Докажите, что $a=b=c$ .

(Д. Кузнецов)

11.6. Из десятичного разложения дроби $\displaystyle\frac{1}{p}$ ( $p>5$ > — простое) вычеркнули 2000-ную цифру. В результате получилось десятичное разложение несократимой дроби $\displaystyle \frac{a}{b}$ . Докажите, что $b$ делится на $p$ .

(А. Храбров)

11.7. В выпуклом многоугольнике $P_1$ содержится выпуклый многоугольник $P_2$ . Докажите, что при любой гомотетии относительно точки $x\in P_2$ с коэффициентом $\displaystyle k=-\frac{1}{2}$ по крайней мере одна вершина $P_2$ не выйдет за пределы $P_1$ .

(В. Дольников)

11.8. На основании $ABC$ треугольной пирамиды $SABC$ , у которой все плоские углы при вершине $S$ больше $60^{\circ}$ , произвольно взята точка $O$ . Докажите, что по крайней мере один из углов $SAO,SBO$ и $SCO$ меньше $60^{\circ}$ .