11 класс
Первый день
11.1. Синусы углов треугольника рациональны. Докажите, что их косинусы также рациональны.
(А. Голованов)
11.2. Окружности и
с центрами
и
пересекаются в точках
и
. Пусть
— произвольная точка окружности
,
пересекается с
в точке
, а
пересекается с
в точке
. Докажите, что если четырехугольник
можно вписать в окружность, то
и
пересекаются на
.
(Л. Емельянов)
11.3. Существует ли многочлен 2001-й степени такой, что
делится на
?
(А. Голованов, В. Сендеров)
11.4. В стране 64 города. Широта и долгота каждого города измеряются целым числом градусов от до
. Два города соединены двусторонним авиарейсом тогда и только тогда, когда они либо имеют одинаковую широту, а их долгота отличается на
, либо имеют одинаковую долготу, а их широта отличается на
. Какое наибольшее число авиарейсов можно отменить, чтобы из любого города в любой другой можно было попасть, совершив не более 14 перелетов?
(Р. Женодаров)
Второй день
11.5. Известно, что для чисел выполняется двойное неравенство
Докажите, что .
(Д. Кузнецов)
11.6. Из десятичного разложения дроби (
> — простое) вычеркнули 2000-ную цифру. В результате получилось десятичное разложение несократимой дроби
. Докажите, что
делится на
.
(А. Храбров)
11.7. В выпуклом многоугольнике содержится выпуклый многоугольник
. Докажите, что при любой гомотетии относительно точки
с коэффициентом
по крайней мере одна вершина
не выйдет за пределы
.
(В. Дольников)
11.8. На основании треугольной пирамиды
, у которой все плоские углы при вершине
больше
, произвольно взята точка
. Докажите, что по крайней мере один из углов
и
меньше
.
(П. Семенов)
Оставьте свой отзыв