11 класс

Первый день

11.1. Синусы углов треугольника рациональны. Докажите, что их косинусы также рациональны.

(А. Голованов)

11.2. Окружности s_1 и s_2 с центрами O_1 и O_2 пересекаются в точках и . Пусть – произвольная точка окружности s_1 , пересекается с s_2 в точке , а пересекается с s_2 в точке . Докажите, что если четырехугольник AO_1BO_2 можно вписать в окружность, то и пересекаются на s_1 .

(Л. Емельянов)

11.3. Существует ли многочлен P(x) 2001-й степени такой, что P(x^2-1) делится на P(x) ?

(А. Голованов, В. Сендеров)

11.4. В стране 64 города. Широта и долгота каждого города измеряются целым числом градусов от 1 до 8. Два города соединены двусторонним авиарейсом тогда и только тогда, когда они либо имеют одинаковую широту, а их долгота отличается на $1^{\circ}$ , либо имеют одинаковую долготу, а их широта отличается на $1^{\circ}$ . Какое наибольшее число авиарейсов можно отменить, чтобы из любого города в любой другой можно было попасть, совершив не более 14 перелетов?

(Р. Женодаров)

Второй день

11.5. Известно, что для чисел a,b,c выполняется двойное неравенство

$\displaystyle \frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\ge \frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a} .$

Докажите, что a=b=c .

(Д. Кузнецов)

11.6. Из десятичного разложения дроби $\displaystyle\frac{1}{p}$ ( p>5 – простое) вычеркнули 2000-ную цифру. В результате получилось десятичное разложение несократимой дроби $\displaystyle \frac{a}{b}$ . Докажите, что делится на .

(А. Храбров)

11.7. В выпуклом многоугольнике P_1 содержится выпуклый многоугольник P_2 . Докажите, что при любой гомотетии относительно точки $x\in P_2$ с коэффициентом $\displaystyle k=-\frac{1}{2}$ по крайней мере одна вершина P_2 не выйдет за пределы P_1 .

(В. Дольников)

11.8. На основании ABC треугольной пирамиды SABC , у которой все плоские углы при вершине больше $60^{\circ}$ , произвольно взята точка . Докажите, что по крайней мере один из углов SAO,SBO и SCO меньше $60^{\circ}$ .