10 класс

Первый день

10.1. Значения квадратного трехчлена y=x^2+ax+b в двух последовательных целых точках – соответственно квадраты двух последовательных натуральных чисел. Докажите, что значения трехчлена во всех целых точках – точные квадраты.

(Н. Агаханов)

10.2. Для числа n^2 его размером назовем наибольшее количество частей (часть – несколько подряд идущих цифр), на которые может быть разбита его десятичная часть так, что каждая из частей – квадрат натурального числа (возможно, начинающийся с нескольких нулей). Существует ли квадрат размера больше 2000?

(Е. Черепанов)

10.3. Прямая l пересекает отрезок AB во внутренней точке D. Постройте на l все точки X такие, что

\angle AXD-\angle XAD=\angle BXD-\angle XBD

(разности углов могут быть отрицательными).

(В. Сендеров)

10.4. На плоскости провели 2001 прямую так, что никакие две из них не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Эти прямые разбили плоскость на части. Какое наименьшее число частей, являющихся углами, может при этом получиться?

(Р. Женодаров)

Второй день

10.5. На доске записаны пять чисел, одно из которых 2000. Разрешается стереть любое число и вместо него записать число a+b-c, где a,b и c – какие-то три из остальных четырех чисел. Можно ли с помощью таких операций получить пять чисел, каждое из которых равно 2000?

(И. Исмагилов)

10.6. В треугольнике ABC точка O – центр описанной окружности. Через точки A и C проведена окружность, касающаяся AO и CO. Докажите, что вторые точки пересечения прямых BA и BC с этой окружностью являются концами ее диаметра.

(Т. Емельянова)

10.7. Пусть a,b,c – длины сторон треугольника. Докажите неравенство

a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\ge 2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2) .

Показать решение

(Р. Женодаров)

10.8. Найдите все натуральные числа, единственным образом представимые в виде \displaystyle \frac{x^2+y}{xy+1}, где x,y – натуральные.

(Л. Емельянов)

Комментариев: 6

  1. 1 Павел:

    В 10.7 знак неравенства должен стоять в другую сторону.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    К сожалению, Вашей картинки не видно. Согласна. Исправила и выложила решение. Спасибо!

    [Ответить]

    Павел Reply:

    Извините, вы не могли бы сказать, где можно посмотреть решения?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    У меня книжка Н. Агаханова, О. Подлипского “Математические олимпиады московской области 1993-2005″

    [Ответить]

  2. 2 Павел:

    [Ответить]

    Павел Reply:

    Там в конце ошибка

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение