9 класс

Первый день

9.1. Докажите, что для любого натурального a число a^3-1 не является степенью двойки.

(Н. Агаханов)

9.2. Докажите, что для любых положительных a,b,c верно неравенство

\displaystyle \frac{a^2}{(a+b)(a+c)}+\frac{b^2}{(b+c)(b+a)}+\frac{c^2}{(c+a)(c+b)}\ge\frac{3}{4} .

(Л. Емельянов)

9.3. На большем основании AB трапеции ABCD выбрана произвольная точка M, и через эту точку проведены прямые, параллельные диагоналям, до пересечения со сторонами BC и AD в точках N и K соответственно. Пусть отрезок KN пересекает диагонали AC и BD в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки KP и QN равны.

(Д. Терёшин)

9.4. В стране 100 дорог (каждая дорога соединяет ровно два города, на всех дорогах двустороннее движение) и из любых трех дорог можно выбрать две, которые не выходят из одного города. Докажите, что найдутся 40 дорог, никакие две из которых не выходят из одного города.

(В. Дольников)

Второй день

9.5. Из цифр 2, 3, \ldots, 9 составили два натуральных числа (каждая цифра использовалась ровно один раз). Могло ли одно из этих чисел оказаться вдвое больше другого?

(Н. Агаханов)

9.6. Из А и Б выехали одновременно “Жигули”, “Москвич” и “Запорожец”. “Жигули”, доехав до Б, повернули назад и встретили “Москвич” в 18 км, а “Запорожец” – в 25 км от Б. “Москвич”, доехав до Б, также повернул назад и встретил “Запорожец” в 8 км от Б. Найдите расстояние от А до Б. (Скорости автомобилей постоянны.)

(С. Токарев)

9.7. Дан прямоугольный треугольник ABC. Окружность с центром на гипотенузе AB проходит через точку A и пересекает катет BC в точках M и N. Пусть K – точка, симметричная M относительно прямой AB. Докажите, что KN=MC+CN.

(М. Сонкин)

9.8. В каждой клетке таблицы n\times n записано чило 1 или -1. Известно, что для каждой клетки произведение всех чисел в клетках, имеющих с ней общую сторону, равно 1. Докажите, что в любых двух клетках, симметричных относительно центра таблицы, записаны одинаковые числа.

(С. Токарев)

Комментариев: 2

  1. 1 Ян Альбертович Дененберг:

    Уважаемая Елизавета Александровна!
    Вы уверены, что верно скопировали условие задачи 9.1?
    Чересчур просто получается — кубы дают остатки 0, 1 или -1 по молулю 7, а степени двойки — 1, 2 или 4. Таким образом, куб, уменьшенный на 1, даёт 0, 5 или 6 и не является степенью двойки.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Уважаемый Ян Альбертович!
    Да, условие верное, я проверила. Обычно первая и пятая задачи – утешительные, чтобы их могли решить как можно больше школьников.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение