8 класс

Первый день

8.1. Расшифруйте числовой ребус:

МА\timesМА=МИР, АМ\timesАМ=РИМ

(одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным – разные).

(А. Нагорный)

8.2. На доске написаны числа от 1 до 20. Разрешается, выбрав любые два числа, стереть их, а вместо них записать на доску их разность (из большего вычитается меньшее). При этом на доске не должны появляться равные числа. Так поступают до тех пор, пока на доске не останется одно число. Какое наименьшее число может остаться на доске?

(Н. Агаханов)

8.3. Малыш и Карлсон разделили круглый торт двумя перпендикулярными разрезами на 4 части. Карлсон взял себе одну наименьшую частьи одну наибольшую часть, а остальные две отдал Малышу. Докажите, что Карлсону досталось не меньше половины торта.

(С. Волчёнков)

8.4. На столе лежат карточки, на которых написаны по разу все делители числа 2000, причем на каждой карточке написан один из делителей. Два игрока по очереди берут себе по одной карточке. Проигрывает тот, у кого число на одной из его карточек делится на число на другой из его карточек. Кто выигрывает при правильной игре?

(Е. Черепанов)

Второй день

8.5. Можно ли расставить на гранях куба числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы каждое число являлось делителем суммы своих соседей?

(А. Шаповалов)

8.6. Кольцевая дорога поделена столбами на километровые участки. Один из столбов покрашен в желтый цвет, другой – в синий, а остальные – в белый. Назовем расстоянием между столбами длину кратчайшей из двух соединяющей их дуг. Найдите расстояние от синего столба до желтого, если сумма расстояний от синего столба до белых равна 2000 км.

(И. Рубанов)

8.7. Имеется 100 правильных треугольников, у которых одна сторона белая, одна – синяя, одна – красная. Разрешается прикладывать треугольники друг к другу одноцветными сторонами. Из этих треугольников составлен правильный треугольник со стороной 10. Докажите, что на границе большого треугольника одинаковое число белых, красных и синих сторон малых треугольников.

(С. Волчёнков)

8.8. В треугольнике ABC (AB\ne BC) проведена биссектриса BD. На прямой BD отметили точку E, отличную от D, такую что CE=CD. Докажите, что прямая, содержащая среднюю линию треугольника ABC, параллельную стороне AB, проходит через середину отрезка DE.

(М. Сонкин)

Комментариев: 2

  1. 1 Катя:

    В задаче я думаю что ответ 25. Решила в уме, писать лень. Там расстояние до ближайшего квадрата получается.

    [Ответить]

    Катя Reply:

    Номер забыла 8.6

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение