11 класс
Первый день
11.1. Дан многочлен . Докажите, что при всех
выполняется неравенство
(Н. Агаханов)
11.2. Назовем прямую, проходящую через середины скрещивающихся ребер тетраэдра, хорошей средней линией тетраэдра, если она образует равные углы с четырьмя прямыми, содержащими остальные ребра тетраэдра. Докажите, что тетраэдр — правильный, если хотя бы две его средние линии хорошие.
(Н. Агаханов)
11.3. Двое играющих по очереди красят клетки квадрата . За один ход игрок красит своим цветом одну клетку. Перекрашивать клетки нельзя. Первый стремится закрасить своим цветом квадрат
. Может ли второй помешать первому независимо от его игры?
(О. Подлипский)
11.4. Найдите все натуральные числа, которые нельзя представить в виде
где и
— натуральные.
(Л. Емельянов)
Второй день
11.5. Найдите все пары простых чисел вида , где
— натуральные числа,
.
(В. Сендеров)
11.6. Докажите, что числа от 1 до 2000 можно так расставить в ряд и указать такую арифметическую прогрессию , что первый ее член
равен одному из этих чисел,
— сумме двух соседних чисел,
— сумме трех соседних и так далее,
равняется сумме всех чисел.
(Д. Кузнецов)
11.7. Каждая точка трехмерного пространства окрашена в черный или белый цвет. Верно ли, что найдется равносторонний треугольник с одноцветными вершинами и стороной, равной 1?
(Л. Емельянов)
11.8. Точки и
лежат на окружности с центром
. Серединные перпендикуляры к отрезкам
и
пересекают прямую
в точках
и
. Докажите, что окружности, описанные около треугольников
и
касаются.
(Т. Емельянова)
1 Ян Альбертович Дененберг:
Попытка решения задачи 11.5.
Пара (3, 5) удовлетворяет условию.
кратно 6, а значит и
кратно 6. Таким образом, если пара, требуемая в задаче, существует и не является парой (3, 5), то она имеет вид
. Однако,
делится на
, поэтому оно может быть простым либо если
(что невозможно!), либо если
(из чего следует
, что противоречит условию).
Остальные пары простых близнецов имеют вид (6n-1, 6n+1), из чего следует, что число
Итак, единственная пара, удовлетворяющая условию задачи, это пара (3, 5).
[Ответить]
11 Март 2013, 17:552 Ян Альбертович Дененберг:
Жаль, что у Вас нельзя редактировать комментарии.
Я буквы перепутал.
Посылаю ещё раз:
Попытка решения задачи 11.5.
Пара (3, 5) удовлетворяет условию.
кратно 6, а значит и
кратно 6. Таким образом, если пара, требуемая в задаче, существует и не является парой (3, 5), то она имеет вид
. Однако,
делится на
, поэтому оно может быть простым либо если
(что невозможно!), либо если
(из чего следует
, что противоречит условию).
Остальные пары простых близнецов имеют вид (6m-1, 6m+1), из чего следует, что число
Итак, единственная пара, удовлетворяющая условию задачи, это пара (3, 5).
[Ответить]
11 Март 2013, 17:583 Ян Альбертович Дененберг:
Ответ на задачу 11.4. покамест публиковать не стану, ибо задача сия ожидает своего бурного обсуждения здесь: http://dxdy.ru/topic80426.html
[Ответить]
18 Январь 2014, 3:40