11 класс

Первый день

11.1. Дан многочлен P(t)=t^2-4t. Докажите, что при всех x\ge1,y\ge1 выполняется неравенство

P(x^2+y^2)\ge P(2xy) .

(Н. Агаханов)

11.2. Назовем прямую, проходящую через середины скрещивающихся ребер тетраэдра, хорошей средней линией тетраэдра, если она образует равные углы с четырьмя прямыми, содержащими остальные ребра тетраэдра. Докажите, что тетраэдр – правильный, если хотя бы две его средние линии хорошие.

(Н. Агаханов)

11.3. Двое играющих по очереди красят клетки квадрата 8\times8. За один ход игрок красит своим цветом одну клетку. Перекрашивать клетки нельзя. Первый стремится закрасить своим цветом квадрат 2\times2. Может ли второй помешать первому независимо от его игры?

(О. Подлипский)

11.4. Найдите все натуральные числа, которые нельзя представить в виде

\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{a+1}{b+1} ,

где a и b – натуральные.

(Л. Емельянов)

Второй день

11.5. Найдите все пары простых чисел вида \{ a^n-1,a^n+1\}, где a,n – натуральные числа, n>1.

(В. Сендеров)

11.6. Докажите, что числа от 1 до 2000 можно так расставить в ряд и указать такую арифметическую прогрессию b_1,\ldots,b_n, что первый ее член b_1 равен одному из этих чисел, b_2 – сумме двух соседних чисел, b_3 – сумме трех соседних и так далее, b_n равняется сумме всех чисел.

(Д. Кузнецов)

11.7. Каждая точка трехмерного пространства окрашена в черный или белый цвет. Верно ли, что найдется равносторонний треугольник с одноцветными вершинами и стороной, равной 1?

(Л. Емельянов)

11.8. Точки A,B,C и D лежат на окружности с центром I. Серединные перпендикуляры к отрезкам AD и BC пересекают прямую AB в точках P и Q. Докажите, что окружности, описанные около треугольников IPQ и ICD касаются.

(Т. Емельянова)

Комментариев: 3

  1. 1 Ян Альбертович Дененберг:

    Попытка решения задачи 11.5.

    Пара (3, 5) удовлетворяет условию.
    Остальные пары простых близнецов имеют вид (6n-1, 6n+1), из чего следует, что число $a^n$ кратно 6, а значит и $a$ кратно 6. Таким образом, если пара, требуемая в задаче, существует и не является парой (3, 5), то она имеет вид $(6k)^n-1, (6k)^n+1$. Однако, $(6k)^n-1$ делится на $6k-1$, поэтому оно может быть простым либо если $6k-1=1$ (что невозможно!), либо если $6k-1=(6k)^n-1$ (из чего следует $k=1$, что противоречит условию).

    Итак, единственная пара, удовлетворяющая условию задачи, это пара (3, 5).

    [Ответить]

  2. 2 Ян Альбертович Дененберг:

    Жаль, что у Вас нельзя редактировать комментарии.
    Я буквы перепутал.
    Посылаю ещё раз:

    Попытка решения задачи 11.5.

    Пара (3, 5) удовлетворяет условию.
    Остальные пары простых близнецов имеют вид (6m-1, 6m+1), из чего следует, что число $a^n$ кратно 6, а значит и $a$ кратно 6. Таким образом, если пара, требуемая в задаче, существует и не является парой (3, 5), то она имеет вид $(6k)^n-1, (6k)^n+1$. Однако, $(6k)^n-1$ делится на $6k-1$, поэтому оно может быть простым либо если $6k-1=1$ (что невозможно!), либо если $6k-1=(6k)^n-1$ (из чего следует $n=1$, что противоречит условию).

    Итак, единственная пара, удовлетворяющая условию задачи, это пара (3, 5).

    [Ответить]

  3. 3 Ян Альбертович Дененберг:

    Ответ на задачу 11.4. покамест публиковать не стану, ибо задача сия ожидает своего бурного обсуждения здесь: http://dxdy.ru/topic80426.html

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение