11 класс

Первый день

11.1. Дан многочлен P(t)=t^2-4t . Докажите, что при всех $x\ge1,y\ge1$ выполняется неравенство

$P(x^2+y^2)\ge P(2xy) .$

(Н. Агаханов)

11.2. Назовем прямую, проходящую через середины скрещивающихся ребер тетраэдра, хорошей средней линией тетраэдра, если она образует равные углы с четырьмя прямыми, содержащими остальные ребра тетраэдра. Докажите, что тетраэдр – правильный, если хотя бы две его средние линии хорошие.

(Н. Агаханов)

11.3. Двое играющих по очереди красят клетки квадрата $8\times8$ . За один ход игрок красит своим цветом одну клетку. Перекрашивать клетки нельзя. Первый стремится закрасить своим цветом квадрат $2\times2$ . Может ли второй помешать первому независимо от его игры?

(О. Подлипский)

11.4. Найдите все натуральные числа, которые нельзя представить в виде

$\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{a+1}{b+1} ,$

где и – натуральные.

(Л. Емельянов)

Второй день

11.5. Найдите все пары простых чисел вида $\{ a^n-1,a^n+1\}$ , где a,n – натуральные числа, n>1 .

(В. Сендеров)

11.6. Докажите, что числа от 1 до 2000 можно так расставить в ряд и указать такую арифметическую прогрессию $b_1,\ldots,b_n$ , что первый ее член b_1 равен одному из этих чисел, b_2 – сумме двух соседних чисел, b_3 – сумме трех соседних и так далее, b_n равняется сумме всех чисел.

(Д. Кузнецов)

11.7. Каждая точка трехмерного пространства окрашена в черный или белый цвет. Верно ли, что найдется равносторонний треугольник с одноцветными вершинами и стороной, равной 1?

(Л. Емельянов)

11.8. Точки A,B,C и лежат на окружности с центром . Серединные перпендикуляры к отрезкам и пересекают прямую в точках и . Докажите, что окружности, описанные около треугольников IPQ и ICD касаются.

(Т. Емельянова)

Комментарии (RSS) | Трекбек

Комментариев: 3

1 Ян Альбертович Дененберг:

Попытка решения задачи 11.5.

Пара (3, 5) удовлетворяет условию.
Остальные пары простых близнецов имеют вид (6n-1, 6n+1), из чего следует, что число кратно 6, а значит и кратно 6. Таким образом, если пара, требуемая в задаче, существует и не является парой (3, 5), то она имеет вид . Однако, делится на , поэтому оно может быть простым либо если (что невозможно!), либо если (из чего следует , что противоречит условию).

Итак, единственная пара, удовлетворяющая условию задачи, это пара (3, 5).

[Ответить]
11 Март 2013, 17:55
2 Ян Альбертович Дененберг:

Жаль, что у Вас нельзя редактировать комментарии.
Я буквы перепутал.
Посылаю ещё раз:

Попытка решения задачи 11.5.

Пара (3, 5) удовлетворяет условию.
Остальные пары простых близнецов имеют вид (6m-1, 6m+1), из чего следует, что число кратно 6, а значит и кратно 6. Таким образом, если пара, требуемая в задаче, существует и не является парой (3, 5), то она имеет вид . Однако, делится на , поэтому оно может быть простым либо если (что невозможно!), либо если (из чего следует , что противоречит условию).

Итак, единственная пара, удовлетворяющая условию задачи, это пара (3, 5).

[Ответить]
11 Март 2013, 17:58
3 Ян Альбертович Дененберг:

Ответ на задачу 11.4. покамест публиковать не стану, ибо задача сия ожидает своего бурного обсуждения здесь: http://dxdy.ru/topic80426.html

[Ответить]
18 Январь 2014, 3:40