10 класс

Первый день

10.1. Найдите все натуральные $a$ , для которых число $a^3+1$ — степень тройки.

(Н. Агаханов)

10.2. Андрей, Борис, Виктор, Георгий и Дмитрий по очереди (не обязательно в указанном порядке) охраняли свой дом от террористов, сменяя друг друга не при сигналах точного времени. Каждый отдежурил по разу, причем Андрей дежурил вдвое дольше Бориса, Борис — вдвое дольше Виктора, а Григорий и Дмитрий каждый — столько же, сколько Виктор. Сердобольная старушка с первого этажа по сигналам точного времени выносила дежурному чашку чаю. Могло ли каждому из пятерых достаться ровно по одной чашке?

(И. Рубанов)

10.3. Диагонали вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$ (см. рисунок). Пусть $O_1$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$ , а $O_2$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABD$ . Докажите, что прямая $O_1O_2$ отсекает от треугольника $AEB$ равнобедренный треугольник.

Рис.

(М. Сонкин)

10.4. Кузнечик прыгает параллельно любой стороне некоторого правильного семиугольника на расстояние один (всякий раз выбирается один из возможных 14 векторов, на который он может сместиться). На плоскости расположена круглая кормушка радиуса $0.01$ . Докажите, что кузнечик всегда может попасть в кормушку.

(А. Белов)

Второй день

10.5. Каждый из квадратных трехчленов

$P-1(x)=x^2+px+q$ и $P_2(x)=x^2+qx+p$

имеет корни. Докажите, что тогда какой-то из трехчленов

$Q_1(x)=x^2+(p-2)x+1$ и $Q_2(x)=x^2+(q-2)x+1$

имеет корень.

(О. Подлипский)

10.6. Найдите все натуральные $n$ такие, что в десятичной записи числа $n!$ используются ровно две различные цифры.

(Е. Сосыка)

10.7. Пусть $A_1$ и $A_2$ — точки пересечения окружностей $S_1$ и $S_2$ , $B_1$ и $B_2$ — точки пересечения окружностей $S_2$ и $S_3$ , и $O_1,O_2,O_3$ — соответственно центры окружностей $S_1,S_2$ и $S_3$ . Докажите, что если точки $O_1,A_1,O_2,B_1,O_3$ лежат на одной окружности, то отрезок $A_2B_2$ параллелен отрезку $O_1O_3$ .

(Л. Емельянов)

10.8. В каждой клетке таблицы $n\times n$ записано число $1$ или $-1$ . Известно, что для каждой клетки произведение всех чисел в клетках, имеющих с ней общую сторону, равно $1$ . Докажите, что в любых двух клетках, симметричных относительно центра таблицы, записаны одинаковые числа.