9 класс

Первый день

9.1. Найдите все натуральные m такие, что число m^2+2 записывается одними шестерками.

(В. Сендеров)

9.2. Через вершину A треугольника ABC и основание биссектрисы угла A проведена окружность S, пересекающая стороны AC и AB в точках K и L. Докажите, что если KL\parallel CB, то S касается BC.

(Р. Карасёв)

9.2. По круглому треку ездят с постоянными, но различными скоростями несколько велосипедистов. У одного из них есть фляжка с водой. При обгоне фляжка от одного обязательно переходит к другому (моментов, когда двое обгоняют одного, не случается).

Может ли оказаться при некотором начальном расположении и некоторых скоростях, что как бы долго они не ездили, у дух из них фляжка так и не побывает?

(А. Шаповалов)

9.4. Существует ли такое натуральное число a, что в последовательности a_n=n^3+a^3, n\in\mathbb{N}, любые два соседних члена взаимно просты?

(В. Сендеров)

Второй день

9.5. Найдите все тройки (a,b,c) (a\ne b,a\ne0,b\ne0) действительных чисел, для которых параболы y=ax^2+bx+x и y=bx^2+cx+a имеют общую вершину.

(Н. Агаханов)

9.6. Дан выпуклый восьмиугольник A_1A_2\ldots A_8, у которого

\angle A_1A_4A_5=\angle A_2A_5A_6=\ldots=\angle A_7A_2A_3=\angle A_8A_3A_4=90^{\circ} .

Докажите, что восьмиугольник можно вписать в окружность.

(Н. Агаханов)

9.7. У геолога есть чашечные весы без гирь и 8 камней. Он хочет знать, верно ли, что два камня всегда тяжелее одного. Как ему гарантированно проверить это за 13 взвешиваний?

(А. Шаповалов)

9.8. Двое играющих по очереди передвигают каждый свою фишку на шахматной доске 100\times100, каждым ходом – на соседнее по стороне поле. Первый выигрывает, если после его хода станут перпендикулярными отрезки, соединяющие центры занятых фишками клеток с центром доски. Докажите, что если вначале фишки стояли в противоположных углах доски, то первый может выиграть независимо от игры второго.

(А. Шаповалов)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение