8 класс

Первый день

8.1. На доске были написаны числа от 1 до 9. Часть из этих чисел стерли и написали все произведения a\times b из оставшихся на доске чисел (a\ne b). Оказалось, что среди этих произведений нашлись числа, оканчивающиеся на все цифры от 0 до 9. Какое наибольшее количество чисел могло быть стерто с доски?

(Н. Агаханов)

8.2. Куб 1\times1\times1 полностью оклеили шестью квадратами общей площадью 6. Обязательно ли все квадраты равны?

(И. Акулич)

8.3. Есть 9 запечатанных коробок, в которых лежит по 1, 2, 3, …, 9 фишек соответственно (на каждой коробке написано, сколько в ней фишек). Двое играющих по очереди берут по одной фишке из любой коробки, распечатывая, если необходимо, коробку. Проигрывает тот, кто последним распечатает коробку. Кто из игроков может всегда выигрывать независимо от игры противника?

(А. Шаповалов)

8.4. Пусть O –  центр вписанной окружности треугольника ABC. На прямой BC отметим точки A_1 и A_2, на прямой AC – точки B_1 и B_2, а на прямой AB – точки C_1 и C_2, так что

OA_1=OA_2=OA,OB_1=OB_2=OB,OC_1=OC_2=OC .

Докажите, что A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=AB+BC+AC .

(М. Сонкин)

Второй день

8.5. Король приказал чеканить монеты так, чтобы любую целую сумму можно было набрать не более чем десятью монетами. Сначал были выпущены монеты в наименьшую возможную сумму – 1 крона. Затем на каждом следующем шаге казначей определяет наименьшую целую сумму, которую нельзя набрать в соответствии с приказом, и выпускает монету в эту сумму. Какие монеты будут выпущены в королевстве?

(А. Шаповалов)

8.6. Бумажный треугольник ABC перегнули по прямой, в результате чего вершина C попала на сторону AB, а непокрытая часть разбилась на два равнобедренных треугольника, у которых равные стороны сходятся в вершинах A. Чему равнялся угол C?

(А. Шаповалов)

8.7. Два игрока обходят доску 99\times99 каждый своей ладьей, двигая их по очереди за ход на одну клетку по маршрутам в форме змейки. Первый начинает из левого нижнего угла, идет вправо до упора, затем ход вверх, влево до упора, снова ход вверх и так далее. Второй стартует из правого нижнего угла, идет вверх до упора, затем ход влево, вниз до упора, ход вправо и так далее. Окажутся ли ладьи в какой-нибудь момент на одной клетке, и если да, то после какого по счету хода?

(А. Шаповалов)

8.8. Можно ли провести на координатной плоскости 10 прямых так, чтобы любые две пересекались в целочисленной точке, и никакие три не проходили через одну точку?

(А. Шаповалов)

Комментариев: 4

  1. 1 Ян Альбертович Дененберг:

    Задача 8.1.

    Ответ: 3 числа.

    Цифры 1, 3, 7 и 9 на конце произведения могут быть получены только из пар нечётных цифр, не кратных 5, то есть, цифр 1, 3, 7 и 9. Если из вышеупомянутых цифр оставить не более трёх, то всего получится три пары, а нам нужно не менее четырёх. Таким образом, ни одну из цифр 1, 3, 7, 9 нельзя стирать. Также нельзя стирать и 5, в противном случае мы не получим произведение, оканчивающееся на 5. Кроме того, нам нужна хотя бы одна чётная цифра, иначе все произведения будут нечётными.

    Учитывая всё, сказанное выше, нам нельзя стирать более трёх цифр.
    Стереть же ровно три цифры можно. Причём можно стереть любые три чётные цифры из имеющихся на доске – всё равно мы получим произведения, оканчивающиеся на все 10 цифр.

    [Ответить]

  2. 2 Ян Альбертович Дененберг:

    Прошу прощения, у Вас опечатка в условии задачи 8.1.
    Вместо “стрто” следует читать “стёрто”.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо большое, Ян Альбертович! Исправила.

    [Ответить]

    Ян Альбертович Дененберг Reply:

    Не за что.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение