11 класс

Первый день

11.1. Найдите все x, для которых выражения {\rm tg}\,x и {\rm tg}\,2x одновременно принимают целые значения.

(Н. Агаханов, В. Сендеров)

11.2. Парабола y=-x^2+b_1x+c_1 и парабола y=-x^2+b_2x+c_2 касаются параболы y=ax^2+bx+c, a>0. Докажите, что прямая, проходящая через точки касания параллельна общей касательной к первым двум параболам.

(Р. Карасёв)

11.3. Дан остроугольный треугольник ABC. На продолжениях стороны AC за точку C, CB за точку B, BA за точку A взяты соответственно точки B_1,A_1,C_1 так, что треугольник A_1B_1C_1 подобен треугольнику ABC. Докажите, что ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника A_1B_1C_1 совпадает с центром окружности, описанной около треугольника ABC.

(Р. Карасёв)

11.4. В темной комнате 20 м\times20 м бегает таракан со скоростью 0,2 м/с. Сможет ли Таня поймать таракана, если у нее есть фонарь, освещающий круг радиуса R=2 м, центр которого – Таня, а ее скорость 2 м/с?

(О. Подлипский)

Второй день

11.5. Про квадратные трехчлены с разными старшими коэффициентами f_1,f_2 и f_3 известно, что их разности f_1-f_2,f_2-f_3 и f_3-f_1 имеют по одному корню. Докажите, что корни разностей совпадают.

(Р. Карасёв)

11.6. Два игрока играют в следующую игру. В начале на доске написаны числа 2, 4, 6, 8, …, 1998. За 1 ход можно уменьшить на 1 любое из написанных чисел. При этом с доски стираются нули и числа, совпадающие с какими-то из уже написанных на доске чисел. Проигрывает тот, после чьего хода на доске не останется ни одного числа. Кто выигрывает при правильной игре?

(С. Зайцев, П. Кожевников)

11.7. Назовем кубоподобным многогранник, имеющий шесть граней и восемь вершин, в каждой из которых сходятся по три грани, каждая грань при этом – четырехугольник.

Докажите, что если отрезки, соединяющие точки пересечения диагоналей противоположных граней кубоподобного многогранника пересекаются в одной точке, то отрезки, соединяющие противоположные вершины (главные диагонали), также пересекаются в одной точке.

(О. Подлипский)

11.8. Можно ли построить на координатной плоскости бесконечно много прямых так, чтобы любые две пересекались в целочисленной точке, и никакие три не проходили через одну точку?

(А. Шаповалов)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение