10 класс

Первый день

10.1. Найдите все x, для которых выражения

\displaystyle \frac{1}{\cos x} и \displaystyle\frac{1}{\cos 2x}

одновременно принимают целые значения.

(Н. Агаханов)

10.2. По круглому треку ездят с постоянными, но различными скоростями несколько велосипедистов. У одного из них есть фляжка с водой. При обгоне фляжка от одного обязательно переходит к другому (моментов, когда двое одновременно обгоняют одного, не случается).

Может ли оказаться при некотором начальном расположении и некоторых скоростях, что как бы долго они не ездили, у двух из них фляжка так и не побывает?

(А. Шаповалов)

10.3. Отрезок с концами на сторонах треугольника делит его площадь пополам. Докажите, что его длина больше r\sqrt{2}, r – радиус вписанной окружности.

(А. Голованов)

10.4. Каково наибольшее число подряд идущих членов последовательности x_n=n^4+1998, НОД которых больше 1?

(В. Сендеров)

Второй день

10.5. Найдите все тройки a,b,c  (a\ne b,a\ne0,b\ne0), для которых параболы

y=ax^2+bx+c и y=bx^2+cx+a

имеют общую вершину.

(Н. Агаханов)

10.6. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что точка O, а также основания перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые BC,BD и CD, лежат на одной окружности.

(П. Кожевников)

10.7. Два игрока играют в следующую игру: сначала на доске написаны числа 2, 4, 6, 8,…, 1998. За 1 ход можно уменьшить на 1 любое из написанных чисел. При этом с доски стираются нули и числа, совпадающие с какими-то из уже написанных на доске чисел. Проигрывает тот, после чьего хода на доске не останется ни одного числа. Кто выигрывает при правильной игре?

(С. Зайцев, П. Кожевников)

10.8. Двое играющих по очереди передвигают каждый свою фишку на шахматной доске 100\times100, каждым ходом – на соседнее по стороне поле. Первый выигрывает, если после его хода станут перпендикулярными отрезки, соединяющие центры занятых фишками клеток с центром доски. Докажите, что если вначале фишки стояли в противоположных углах доски, то первый может выиграть независимо от игры второго.

(А. Шаповалов)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение