9 класс

Первый день

9.1. Можно ли раскрасить клетки таблицы 2003\times 2003 в три цвета так, чтобы у любой клетки первого цвета было по крайней мере два соседа второго цвета, у каждой клетки второго цвета было по крайней мере два соседа второго цвета, у каждой клетки третьего цвета было по крайней мере два соседа первого цвета. (Соседями называются две клетки, имеющие общую сторону).

(Н. Агаханов)

9.2. Буратино время от времени сажает на поле чудес монеты. Из посаженной монеты из земли немедленно начинает расти дерево с постоянной скоростью 1 м в час. В полночь суммарная высота посаженных Буратино деревьев равнялась 10 м, в 5 часов утра – 16 м, в 10 утра – 29 м. Докажите, что среди деревьев Буратино найдутся два таких, которые отличаются по высоте не более, чем на 3 м.

(И. Рубанов)

9.3. На высоте AH остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность \omega. Пусть B_1 и C_1 – вторые (кроме A) точки пересечения \omega со сторонами AB и AC соответственно. Докажите, что касательные к \omega, проведённые в B_1 и C_1, высекают на стороне BC отрезок, равный половине этой стороны.

(Т. Емельянова)

9.4. Докажите, что существует бесконечно много не делящихся на 3 точных квадратов, представимых в виде суммы пяти различных степеней тройки.

(А. Гарбер)

9.5. На доске написано уравнение x^2 + 2x \cdot * + 3 \cdot (* +*) = 0. Докажите, что любую тройку попарно различных целых чисел можно так расставить в уравнении вместо *, что полученное уравнение будет иметь по крайней мере один корень.

(Н. Агаханов)

Второй день

9.6. За круглым столом 35 гостей уселись пить чай. Им выдали 10 литровых и 25 пол-литровых кружек. Каждому принесли пол-литровый чайник с чаем. Гость может вылить содержимое чайника себе или одному из своих соседей. Гости согласны пить только из полной кружки. Какое наибольшее число гостей может напиться чаю?

(Р. Женодаров)

9.7. Пусть P – произвольная точка внутри \triangle ABC. Выберем какую-либо вершину и отразим ее симметрично относительно P, а затем полученную точку отразим симметрично относительно середины стороны, противолежащей выбранной вершине. Обозначим полученную точку Q. Докажите, что Q не зависит от выбора вершины \triangle ABC.

(Л. Емельянов)

9.8. На окружности расставлены 2n >2 точек, делящие ее на равные части. Двое играют в следующую игру. Игрок может своим ходом стереть любой набор точек, которые делят окружность на равные части (при этом одну или 2n точек стирать нельзя). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

(И. Рубанов, Д. Крамаренко)

Один комментарий

  1. 1 Ян Альбертович Дененберг:

    Попытка решения задачи 9.2.

    Если бы в полночь было более одного дерева, суммарная высота в 10 утра была бы не менее 30 метров, что противоречит условию. Следовательно, в полночь было ровно одно дерево высотой 10 метров, которое к 5 утра достигло высоты 15 метров, а к 10 утра — 20 метров.

    Если бы в 5 утра было более двух деревьев, суммарная высота в 10 утра была бы не менее 31 метра, что противоречит условию. И поскольку в 5 утра у нас уже было одно дерево высотой 15 метров, а суммарная высота в 5 утра была 16 метров, значит в 5 утра было ровно два дерева высотами 15 метров и 1 метр.

    К 10 утра суммарная высота двух вышеописанных деревьев достигла 26 метров. Следовательно, сумма всех деревьев, которые были посажены после 5 утра, равнялась к 10 утра 3 метрам. Если эту сумму составляет только одно дерево высотой 3 метра, то задача решена, так как дерево, посаженное между полуночью и 5 утра имело в 10 утра высоту 6 метров.
    Если же имеется более одного дерева с суммарной высотой 3 метра, то хотя бы одно из них не выше 3 метров (поскольку высоты деревьев неотрицательны) и хотя бы одно из них не ниже 0 метров (опять же, поскольку высоты деревьев неотрицательны). А раз так, найдутся два дерева, модуль разности высот которых не превышает 3 метра, что и требовалось доказать.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение