8 класс

Первый день

8.1. У Васи есть несколько конфет не обязательно одинаковой стоимости. Известно, что конфеты можно разложить на две кучки так, что суммарная стоимость конфет в одной кучке будет вдвое больше, чем в другой. Также их можно разложить на две кучки так, что суммарная стоимость конфет в одной кучке будет втрое больше, чем в другой. Какое наименьшее число конфет может быть у Васи?

(О. Подлипский)

8.2. Точка пересечения высот остроугольного треугольника равноудалена от середин его сторон. Докажите, что треугольник равносторонний.

(Н. Агаханов)

8.3. Назовем редкой парой два последовательных натуральных числа, каждое из которых делится на произведение своих цифр (числа не должны содержать в своей десятичной записи нулей). Среди каких чисел больше редких пар – среди 2002-значных или 2003-значных?

(В. Сендеров)

8.4. Для оклейки кубика 3\times 3\times 3 имеется неограниченный набор полосок ширины 1, каждая из которых состоит из целого числа клеток. Какое наименьшее число полосок необходимо взять, чтобы оклеить кубик в один слой (оклеивать разрешается так, чтобы каждая клетка полоски покрывала на поверхности кубика какую-то клетку целиком)?

(Л. Емельянов)

Второй день

8.5. На острове Буяне живут племена рыцарей, лжецов и реалистов. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, а реалисты лгут и говорят правду через раз, причем неизвестно, с правдивого или ложного ответа начинают реалисты.

Однажды репортер спросил у двух жителей А и Б этого острова, из каких они племен. Они ответили следующее. А: “Б – рыцарь. Извините, Б – реалист.” Б: “А – лжец. Извините, А – …” К сожалению, последнее слово, сказанное Б, репортер не расслышал. Что это было за слово?

(И. Рубанов)

8.6. Сумма положительных чисел x,y и z равна 11. Докажите неравенство

[x]^4+[y]^4+[z]^4\ge243.

([a] – целая часть числа a, то есть наибольшее целое число, не превосходящее a).

(А. Храбров)

8.7. Докажите, что любой параллелограмм можно разрезать ровно на 9 равнобедренных треугольников.

(Л. Емельянов)

8.8. На окружности расставлены 56 точек, делящие ее на равные части. Двое играют в следующую игру. Игрок может своим ходом стереть любой набор точек, которые делят окружность на равные части (при этом одну или 56 точек стирать нельзя). Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

(И. Рубанов, Д. Крамаренко)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение