11 класс

Первый день

11.1. В треугольнике сумма косинусов двух углов равна синусу третьего угла. Докажите, что треугольник – прямоугольный.

(Н. Агаханов)


11.2. Биссектрисы AL, BM и CN треугольника ABC пресекаются в точке O. Какой из отрезков LO, MO или NO – наибольший, если \angle A > \angle B > \angle C?

(В. Сендеров)

11.3. Пусть x, y, z – неотрицательные числа и выполняется равенство x^2 +y^2 + z^2 + 2xyz = 1. Докажите неравенство \displaystyle x + y + z \le\frac{3}{2}.

Показать решение

(В. Дольников)

11.4. В лагерь приехали n \ge 9 школьников. Известно, что любую группу из 6 школьников можно расселить по двум трехместным комнатам так, что в каждой комнате все школьники знакомы между собой. Какое наименьшее число пар знакомых могло быть среди школьников?

(Д. Крамаренко)

Второй день

11.5. Сумма положительных чисел x, y, z равна 11. Докажите неравенство

x^{[x]} + y^{[y]} + z^{[z]} > 81.

(А. Храбров)

11.6. На доске написаны числа от 1 до n, n \ge 3. Разрешается стереть любые два числа одной четности и вместо них записать на доску их полусумму. Эта операция проделывается до тех пор, пока на доске не останется одно число. Докажите, что в конце могло остаться любое число от 2 до n – 1.

(Н. Агаханов)

11.7. Пусть A_1, B_1, C_1, D_1 – соответственно середины ребер SA, SB, SC, SD четырехугольной пирамиды SABCD. Известно, что пространственные четырехугольники ABC_1D_1, A_1BCD_1, A_1B_1CD, AB_1C_1D являются плоскими и имеют равные площади. Докажите, что ABCD – ромб.

(Н. Агаханов)

11.8. На столе лежат картинками вниз 8 игральных карт. Вы можете указать на любую группу карт (в частности, на одну карту или, например, на все 8 карт) и спросить, сколько карт бубновой масти в этой группе. В качестве ответа вам сообщат число, отличающееся от истинного значения на 1. Как при помощи 5 вопросов наверняка узнать число бубновых карт, лежащих на столе?

(С. Токарев)

Комментариев: 2

  1. 1 Павел:

    Выложите, пожалуйста, решение 3 задачи.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Выложила.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение