10 класс

Первый день

10.1. Может ли тангенс острого угла быть в целое число раз больше как синуса, так и косинуса этого же угла?

(Н. Агаханов)

10.2. На высоте AH остроугольного \triangle ABC взята точка D. Точки M и N симметричны точке D относительно сторон AB и AC соответственно. Докажите, что окружности, описанные около \triangle ABM и \triangle ACN, пересекаются второй раз в точке, симметричной точке D относительно стороны BC.

(Т. Емельянова)

10.3. Существуют ли такие натуральные числа x, y, z (причeм z – нечетное), что выполняется равенство x^{10} + y^{10} = z^{11}?

(В. Сендеров)

10.4. Для оклейки кубика n \times n \times n имеется неограниченный набор полосок ширины 1, каждая из которых состоит из целого числа клеток. Какое наименьшее число полосок необходимо взять, чтобы оклеить кубик в один слой (оклеивать разрешается так, чтобы каждая клетка полоски покрывала на поверхности кубика какую-то клетку целиком)?

(Л.Емельянов)

Второй день

10.5. На доске написано уравнение x^2 + 2x \cdot * + 3\cdot (* + *) = 0. Докажите, что любую тройку попарно различных целых чисел можно так расставить в уравнении вместо *, что полученное уравнение будет иметь по крайней мере один корень.

(Н. Агаханов)

10.6. Ко дню Российского Флага продавец украсил витрину 12 горизонтальными полосками ткани трех цветов. При этом он выполняет два условия: 1) одноцветные полосы не должны висеть рядом; 2) каждая синяя полоса должна висеть между белой и красной. Сколькими способами он может это сделать?

(С. Волчёнков)

10.7. В пространстве даны 4 попарно не пересекающиеся прямые. Известно, что любая плоскость, не параллельная ни одной из этих прямых, пересекает их в четырех точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что данные прямые параллельны.

(С. Спиридонов)

10.8. На столе лежат картинками вниз 8 игральных карт. Вы можете указать на любую группу карт (в частности, на одну карту или, например, на все 8 карт) и спросить, сколько карт бубновой масти в этой группе. В качестве ответа вам сообщат число, отличающееся от истинного значения на 1. Как при помощи 5 вопросов наверняка узнать число бубновых карт, лежащих на столе?

(С. Токарев)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение