Математика, которая мне нравится

Первый день

9.1. В полдень из пункта А в пункт Б выехал “Москвич”. Одновременно из Б в А выехали “Жигули”. Через час “Москвич” находился на полпути от А до “Жигулей”. Когда он окажется на полпути от “Жигулей” до Б? (скорости автомобилей постоянны и отличаются менее, чем вдвое).

(С. Токарев)

9.2. Докажите, что отрезок, соединяющий середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, делит его диагонали в равных отношениях.

(М. Сонкин)

9.3. Имеет ли уравнение

целые корни?

(Т. Емельянова)

9.4. Натуральные числа от 1 до 100 разбиты на два набора по 50 чисел. Один набор выписан вдоль верхней стороны таблицы 50\times50, а другой – вдоль левой стороны. В клетки таблицы записаны произведения соответствующих чисел из наборов (“таблица умножения”). Могут ли все эти произведения оказать различными?

(О. Подлипский)

Второй день

9.5. Три коэффициента a,b,c  и два корня x_1,x_2 квадратного трехчлена ax^2+bx+c, выписанные в некотором порядке, образуют ряд из 5 последовательных целых чисел. Найдите все такие трехчлены.

(А. Шаповалов)

9.6. В треугольнике ABC, вписанном в окружность, AB<BC. На стороне AC отмечена точка D так, что AD=AB. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку DC делит пополам дугу BC, не содержащую точки A.

(М. Сонкин)

9.7. Найдите наибольшее число l такое, что при любой раскраске единичного квадрата в 2 цвета внутри него найдется отрезок с одноцветными вершинами длины не меньше, чем l.

(Л. Емельянов)

9.8. Девять гирек расположены по кругу. Известно, что одна из них имеет массу 1 г, а за ней последовательно по ходу часовой  стрелки расположены гирьки массами 2 г, 3 г, …, 9 г. Размеры гирек одинаковы, и других гирь нет. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить гирьку массой 1 г?

(С. Токарев)