8 класс

Первый день

8.1. В полдень из пункта А в пункт Б выехал “Москвич”. Одновременно из Б в А выехали “Жигули”. Через час “Москвич” находился на полпути от А до “Жигулей”. Когда он окажется на полпути от “Жигулей” до Б? (скорости автомобилей постоянны и отличаются менее, чем вдвое).

(С. Токарев)

8.2. На гранях куба написаны натуральные числа, а в каждой вершине — произведения чисел на трех гранях с этой вершиной. Найдите сумму чисел на гранях, если сумма в вершинах равна 70.

(А. Шаповалов)

8.3. На стороне BC треугольника ABC выбрана точка F. Оказалось, что отрезок AF пересекает медиану BD в точке E так, что AE=BC. Докажите, что BF=FE.

(М. Сонкин)

8.4. Даны две системы прямоугольников на плоскости I и II. Известно, что любые два прямоугольника из различных систем имеют общую точку, и стороны их параллельны. Докажите, что либо все прямоугольники в одной системе имеют общую точку, либо существуют две прямые, первая из которых пересекает все прямоугольники системы I, а вторая – все прямоугольники системы II.

(В. Дольников)

Второй день

8.5. Имеется 10 спортсменов разного роста и 10 разного веса. Верно ли, что найдутся 10 спортсменов, любые два из которых отличаются и ростом, и весом?

(А. Белов)

8.6. Прожектор освещает развернутый угол (180^{\circ}). Можно ли расположить 19 прожекторов так, чтобы никакие 3 не находились на одной прямой и каждый прожектор освещал бы только один другой прожектор?

(Т. Емельянова)

8.7. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA_1 и CC_1. Докажите, что если длины перпендикуляров, опущенных из вершины B на прямые AA_1 и CC_1 равны, то треугольник ABC — равнобедренный.

(Н. Агаханов)

8.8. Найдутся ли какие-нибудь 4 натуральных числа таких, чтобы среди наибольших общих делителей пар встретились 6 последовательных чисел?

(А. Шаповалов)

Один комментарий

  1. 1 Ян Альбертович Дененберг:

    Задача 8.5:

    По-моему, ответ, в общем случае, отрицательный. Пусть у нас в команде ровно 20 спортсменов: 10 спортсменов весом 75 кг, все разного роста (назовём их красными), и 10 других спортсменов ростом 180 см, все разного веса (назовём их синими). В этом случае, по принципу Дирихле, среди любых 10 спортсменов нашей команды найдутся два одноцветных (так как цветов – два, а спортсменов – 10). Два одноцветных спортсмена будут либо одного роста, либо одного веса. А это и означает отрицательный ответ на задачу.

    Замечание:

    Если в условии заменить число 10 числом n=2, ответ будет положительным. При любом же целом n>2 ответ в общем случае отрицательный.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение