Математика, которая мне нравится

Первый день

11.1. Дана последовательность a_1,a_2,a_3,\ldots, где a_n=n^2+n+1 при любом n\ge1. Докажите, что произведение любых двух соседних членов этой последовательности также является ее членом.

(С. Токарев)

11.2. Найдите два многочлена P(x) и Q(x) с целыми коэффициентами таких, что множество значений дробно-рациональной функции \displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} есть промежуток \left[\sqrt{2},+\infty\right).

(В. Сендеров)

11.3. На окружности, описанной вокруг треугольника ABC, отмечены точки A_1,B_1,C_1 – середины дуг CAB,ABC и BAC соответственно. Докажите, что касательные к окружности в точках A_1 и C_1 и серединный перпендикуляр к отрезку BB_1 пересекаются в одной точке.

(М. Сонкин)

11.4. На плоскости дано некоторое конечное семейство P кругов равного радиуса. Известно, что для любых трех кругов из P найдется прямая, пересекающая их все. Докажите, что если радиусы кругов увеличить в 2 раза, то найдется прямая, пересекающая все круги.

(В. Дольников)

Второй день

11.5. Существуют ли 1998 нецелых рациональных чисел, произведение любых двух из которых – целое число?

(А. Малистов, А. Белов)

11.6. Дан неограниченный набор одинаковых правильных пятиугольников из картона, при вершинах каждого из которых написаны по кругу натуральные числа от 1 до 5. Пятиугольники можно переворачивать и поворачивать. Их сложили в стопку вершина к вершине, и оказалось, что суммы чисел при каждой из пяти вершин стопки одинаковы. Сколько пятиугольников может быть в одной стопке?

(О. Подлипский)

11.7. При каких n существует многочлен

с действительными коэффициентами такой, что при всех x\in\mathbb{R} P_n(x)>-3 и P_n(-2)=P_n(0)=P_n(2)=0?

(Н. Агаханов)

11.8. В пространстве расположены четыре попарно скрещивающиеся прямые. Докажите, что найдется полуплоскость, границей которой является одна из этих прямых, не пересекающаяся с остальными тремя прямыми.

(Р. Карасёв)