11 класс
Первый день
11.1. Дана последовательность , где
при любом
. Докажите, что произведение любых двух соседних членов этой последовательности также является ее членом.
(С. Токарев)
11.2. Найдите два многочлена и
с целыми коэффициентами таких, что множество значений дробно-рациональной функции
есть промежуток
.
(В. Сендеров)
11.3. На окружности, описанной вокруг треугольника , отмечены точки
— середины дуг
и
соответственно. Докажите, что касательные к окружности в точках
и
и серединный перпендикуляр к отрезку
пересекаются в одной точке.
(М. Сонкин)
11.4. На плоскости дано некоторое конечное семейство кругов равного радиуса. Известно, что для любых трех кругов из
найдется прямая, пересекающая их все. Докажите, что если радиусы кругов увеличить в 2 раза, то найдется прямая, пересекающая все круги.
(В. Дольников)
Второй день
11.5. Существуют ли 1998 нецелых рациональных чисел, произведение любых двух из которых — целое число?
(А. Малистов, А. Белов)
11.6. Дан неограниченный набор одинаковых правильных пятиугольников из картона, при вершинах каждого из которых написаны по кругу натуральные числа от 1 до 5. Пятиугольники можно переворачивать и поворачивать. Их сложили в стопку вершина к вершине, и оказалось, что суммы чисел при каждой из пяти вершин стопки одинаковы. Сколько пятиугольников может быть в одной стопке?
(О. Подлипский)
11.7. При каких существует многочлен
с действительными коэффициентами такой, что при всех
?
(Н. Агаханов)
11.8. В пространстве расположены четыре попарно скрещивающиеся прямые. Докажите, что найдется полуплоскость, границей которой является одна из этих прямых, не пересекающаяся с остальными тремя прямыми.
(Р. Карасёв)
Оставьте свой отзыв