10 класс

Первый день

10.1. Три друга гонят самогон, каждый своим аппаратом. У Труса течет жидкость крепостью a градусов, и стандартная бутыль наполняется за a часов; у Балбеса соответственно – b градусов и за b часов, у Бывалого – c градусов и за c часов. Для ускорения процесса друзья направили все шланги в одну бутыль и наполнили ее за сутки. Какова крепость смеси? (Примечание: крепость – это процент содержания спирта.)

(А. Шаповалов)

10.2. Решите уравнение

\displaystyle \left[\frac{1}{\sin x}\right]+\left[\frac{1}{\cos x}\right]=0.

(Н. Агаханов)

10.3. Окружности S_1 и S_2 с центрами O_1 и O_2 пересекаются в точках A и B. Луч O_1A пересекает окружность S_2 в точке M, луч O_2A пересекает окружность S_1 в точке N, а прямая MN вторично пересекает эти окружности в точках E и F. Докажите, что AE=AF.

(М. Сонкин)

10.4. Есть три поля: на одном лежит стопка из n монет, два других свободны. За один ход можно переложить монету с верха любой стопки на свободное поле или на верх любой другой стопки. За какое наименьшее число ходов удастся собрать стопку в обратном порядке на том же поле?

(А. Шаповалов)

Второй день

10.5. Три коэффициента a,b,c и два корня x_1,x_2 квадратного трехчлена ax^2+bx+c, выписанные в некотором порядке, образуют ряд из 5 последовательных целых чисел. Найдите все такие трехчлены.

(А. Шаповалов)

10.6. Дан неограниченный набор одинаковых правильных пятиугольников из картона, при вершинах каждого из которых написаны по кругу натуральные числа от 1 до 5. Пятиугольники можно переворачивать и поворачивать. Их сложили в стопку вершина к вершине, и оказалось, что суммы чисел при каждой из пяти вершин стопки одинаковы. Сколько пятиугольников может быть в одной стопке?

(О. Подлипский)

10.7. Ортогональные проекции на плоскости всех граней треугольной пирамиды отрезка, соединяющего середины его противоположных ребер, имеют равные длины. Докажите, что таким же свойством обладает и любой из двух отрезков, соединяющих середины противоположных ребер пирамиды.

(Н. Агаханов)

10.8. Девять гирек расположены по кругу. Известно, что одна из них имеет массу 1 г, а за ней последовательно по ходу часовой  стрелки расположены гирьки массами 2 г, 3 г, …, 9 г. Размеры гирек одинаковы, и других гирь нет. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить гирьку массой 1 г?

(С. Токарев)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение