9 класс

Первый день

9.1. Даны корни x_0 и x_1x_0 и x_2,\ldotsx_0 и x_n квадратных трехчленов

y=x^2+a_1x+b_1,y=x^2+a_2x+b_2,\ldots,y=x^2+a_nx+b_n .

Найдите корни квадратного трехчлена

\displaystyle y=x^2+\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}x+\frac{b_1+b_2+\ldots+b_n}{n} .

(Н. Агаханов)

9.2. На какое наибольшее число натуральных слагаемых можно разложить число 96 так, чтобы все слагаемые были больше 1 и попарно взаимно просты?

(А. Шаповалов)

9.3. Медианой пятиугольника ABCDE назовем отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (A – с серединой CD, B – с серединой DE и так далее). Докажите, что если 4 медианы выпуклого пятиугольника перпендикулярны сторонам, к которым они проведены, то таким же свойством обладает и пятая медиана.

(Р. Женодаров)

9.4. На 115 карточках написаны целые числа 1, 2,\ldots, 115. Все карточки сложены в стопку так, что разность между числами на любых двух соседних карточках равна либо n, либо m. Оказалось, что для данных m и n существует только один способ сложить стопку с таким свойством. Какое число написано на нижней карточке стопки, если на верхней написано число 19?

(Р. Женодаров)

Второй день

9.5. Можно ли представить число 1^2+2^2+\ldots+1997^2 в виде суммы квадратов 1996 различных натуральных чисел?

(В. Сендеров)

9.6. В треугольнике ABC AB>BC, и на стороне AB взята точка P так, что BP=BC. Биссектриса BM пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке N. Докажите, что точки A,P,M,N лежат на одной окружности.

(Б. Кукушкин)

9.5. 38 попугаев передрались, измеряя рост удава. Каждый из них сумел выдрать одно перо из чьего-то хвоста, и у каждого попугая было выдрано одно перо. Кроме того, для любых трех попугаев можно указать четвертого, выдравшего перо у одного из них. Докажите, что для наведения порядка удав может проглотить не более 6 попугаев, а остальных рассадить поровну в две клетки так, чтобы ни один попугай не попал в одну группу со своим обидчиком.

(И. Акулич)

9.8. Из клетчатого квадрата (n^2+1)\times(n^2+1) вырезали клетчатый квадрат (n^2-1)\times(n^2-1) с тем же центром. На какое наименьшее число кусков нужно разрезать (по границам клеточек) образовавшуюся каемку так, чтобы из них можно было сложить квадрат (2n)\times(2n)?

(Р. Женодаров, О. Крижановский)

Комментариев: 13

  1. 1 Ян Альбертович Дененберг:

    Задача 9.5. Можно ли представить число 1^2+2^2+\dots +1997^2 в виде суммы квадратов 1996 (попарно — прим. ред.) различных натуральных чисел?

    Я думаю, что можно.
    Есть такая пифагорова троечка 1200, 1600, 2000.
    Иными словами, 1200^2+1600^2=2000^2.
    Заменим в сумме, данной в задаче, два слагаемых — 1200^2 и 1600^2 — на одно слагаемое, равное 2000^2.
    Поскольку число 2000^2 изначально не содержалось в исходной сумме, мы получили ровно 1996 попарно различных натуральных слагаемых, что от нас и требовалось.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Конечно же, Вы правы.

    [Ответить]

  2. 2 Вячеслав:

    Как понимать попарно различных натуральных чисел?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Нет двух одинаковых чисел, все числа различны.

    [Ответить]

    Ян Альбертович Дененберг Reply:

    “Попарно различных” означает, что среди данных чисел нет двух одинаковых.
    Например, числа 1, 2, 3, 4 и 5 попарно различны.
    А числа 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5 различны, но не попарно различны.
    Вот как это используется на практике:
    http://dxdy.ru/topic53492.html
    http://dxdy.ru/topic54500.html
    http://dxdy.ru/topic53461-30.html
    http://e-science.ru/forum/lofiversion/index.php/t32296.html

    [Ответить]

  3. 3 Вячеслав:

    Тогда не обязательно использовать именно тройку чисел 1200, 1600 и 2000. Таких троек бесчисленное множество, начиная с 3, 4, 5 и далее умножая их на любое натуральное число. В истории математики есть предположение что числа 3, 4, и 5 использовали в древние времена ещё до Пифагора для построения прямого угла.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вячеслав, так не получится попарно различных чисел.

    [Ответить]

  4. 4 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, поясните пожалуйста, какая разница, если вместо чисел 1200 и 1600 заменить числа 3 и 4? Почему так не получится попарно различных чисел?

    [Ответить]

    Ян Альбертович Дененберг Reply:

    Потому что если Вы замените 3 и 4 на 5, Вы получите 1^2+2^2+5^2+5^2+6^2+\dots +1997^2.
    Как Вы успели заметить, количество квадратов пятёрочки в данной сумме ничем не отличается от количества сестёр Арнтгольц.

    [Ответить]

  5. 5 Вячеслав:

    Ян Альбертович, спасибо за пояснения. Всё же не понятно, зачем оставлять две пятерки, что такое количество квадратов пятёрочки и количество сестёр Арнтгольц?

    [Ответить]

  6. 6 Ян Альбертович Дененберг:

    Уважаемая Елизавета Александровна, в том-то и дело, что оставлять две пятёрочки нельзя, иначе числа не будут попарно различными. Если решить так, как предложил Вячеслав, получится два равных слагаемых (5^2). А сестёр Арнтгольц тоже две.

    [Ответить]

  7. 7 Вячеслав:

    Ян Альбертович, ещё раз благодарю за пояснения. Мой вариант решения тоже допустим. В вашем варианте взамен двух слагаемых вводиться новое слагаемое, в моём – удаляется лишняя пятерка.

    [Ответить]

    Ян Альбертович Дененберг Reply:

    Я в предыдущем сообщении вообще не понял, кому отвечаю. Оказывается, это Вам, Вячеслав.
    В Вашем варианте не удаляется лишняя пятёрка. Она либо добавляется, либо заменяется на лишние тройку и четвёрку.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение