8 класс

Первый день

8.1. Расположите натуральные числа от 1 до 100 в строку так, чтобы разность между любыми двумя соседними числами была равна 2 или 3.

(Н. Агаханов)

8.2. Медианой пятиугольника ABCDE назовем отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (A – с серединой CD, B – с серединой DE и так далее). Докажите, что если 4 медианы выпуклого пятиугольника перпендикулярны сторонам, к которым они проведены, то таким же свойством обладает и пятая медиана.

(Р. Женодаров)

8.3. На клетчатой бумаге построены несколько прямоугольников со сторонами, параллельными линиям сетки и общим центром O в одном из узлов сетки. За один вопрос можно про любой узел узнать, у скольких прямоугольников он лежит внутри. Как за четыре вопроса можно узнать, сколько прямоугольников содержат только один узел O?

(А. Шаповалов)

8.4. На автобусном маршруте 11 остановок, включая первую. На первой остановке в автобус сели 10 пассажиров, и на всех последующих остановках кроме конечной суммарное количество вошедших и вышедших пассажиров было равно 10. Кроме того, оказалось, что каждый пассажир ехал не более 5 остановок (то есть от остановки номер M не далее, чем до остановки номер M+5), и ни в какой момент движения автобус не был пустым. Какое наибольшее количество пассажиров могло одновременно оказаться в автобусе во время движения?

(Е. Малинникова)

Второй день

8.5. Найдите все натуральные числа, представимые в виде \displaystyle \frac{mn+1}{m+n}, где m и n – натуральные числа.

(Л. Емельянов)

8.6. Можно ли какие-либо десять чисел расставить в кружки данной фигуры (см. рисунок) так, чтобы сумма чисел в вершинах любого черного  треугольника была равна 1996, а сумма чисел в вершинах любого белого треугольника была равна 1997?

(Н. Авилов)

8.7. На огороженном поле 1 км \times 1 км были построены заборы, разделившие его на прямоугольные участки 5 м \times 20 м и 6 м \times 12 м. Какова общая длина построенных заборов?

(А. Шаповалов)

8.8. Двое по очереди записывают натуралные числа от 1 до 25 в клетки таблицы 5\times5, каждое число может быть записано только один раз. Если после заполнения всей таблицы сумма чисел в каком-нибудь столбце или в какой-нибудь строке равна 70, то выигрывает начинающий, в противном случае выигрывает его соперник. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен играть, чтобы выиграть?

(Р. Женодаров)

Комментариев: 9

  1. 1 Ян Альбертович Дененберг:

    Задача 8.1.

    2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50, 53, 56, 59, 62, 65, 68, 71, 74, 77, 80, 83, 86, 89, 92, 95, 98, 100, 97, 94, 91, 88, 85, 82, 79, 76, 73, 70, 67, 64, 61, 58, 55, 52, 49, 46, 43, 40, 37, 34, 31, 28, 25, 22, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99

    [Ответить]

    Ян Альбертович Дененберг Reply:

    Поясняю. Сперва все числа, дающие остаток 2 при делении на 3, в порядке возрастания. Затем все числа, дающие остаток 1 при делении на 3, в порядке убывания. И наконец, все числа, кратные трём, в порядке возрастания.

    [Ответить]

    Ян Альбертович Дененберг Reply:

    Официальное решение отличается от моего:

    1, 3, 5, 2, 4, 6, 8,10, 7, 9 , 11, … , 96, 98, 100,97, 99 (в каждой пятёрке порядок расположения чисел 5к+1, 5к+3, 5к+5, 5к+2, 5к+4)

    Не упустил ли я чего?

    [Ответить]

    Ян Альбертович Дененберг Reply:

    А сколькими вообще способами можно сделать то, о чём просят нас в исходной задаче?
    Интересная новая комбинаротная задача получается!

    [Ответить]

    Ян Альбертович Дененберг Reply:

    Вот ссылка: http://dxdy.ru/topic68706.html

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Ян Альбертович, по-моему, все верно!

    [Ответить]

    Ян Альбертович Дененберг Reply:

    Спасибо, Елизавета Александровна.
    По-моему, тоже.
    Только вот более общую задачу пока никто не решил.

    [Ответить]

    Ян Альбертович Дененберг Reply:

    Если даже TOTAL не решил, остаётся ждать только hippie.
    Если и hippie не решит, значит это вообще не решабельно :-)

    [Ответить]

    Ян Альбертович Дененберг Reply:

    Жаль, что Профессор Снэйп умер, он бы точно решил.
    Гении рано покидают наш дрянной мир.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение