11 класс

Первый день

11.1. Какие стороны может иметь треугольник ABC, если из отрезков длины \cos A, \cos B и \cos C можно составить треугольник, и этот треугольник равен ABC?

(Н. Агаханов)

11.2. Назовем высотой (2n+1)-угольника A_1A_2\ldots A_{2n+1} прямую, перпендикулярную противолежащей стороне (через A_1 перпендикулярно A_{n+1}A_{n+2} и так далее).  Докажите, что если 2n высот 2n+1-угольника проходят через одну точку, то и (2n+1)-я высота проходит через ту же точку.

(Р. Женодаров)

11.3. Докажите, что число 1996^{1996}+1 не является степенью выше первой никакого натурального числа.

(В. Сендеров)

11.4. Двое игроков по очереди заполняют отличными от нуля числами таблицу (2n+1)\times(2n+1). В конце игры (после заполнения всей таблицы) первому засчитывается число строк, сумма в которых равна нулю, а второму – число столбцов с суммой 0. Выигрывает тот, у которого засчитанное число больше. Может ли кто-то из игроков обеспечить себе выигрыш?

(О. Крижановский, И. Рубанов, Р. Женодаров)

Второй день

11.5. Существует ли многочлен P(x) такой, что P(1)=1,P(2)=2 и P(n) иррационально для любого целого n, отличного от 1 и 2?

(Н. Агаханов)

11.6. Точки A_1,B_1,C_1,D_1 – середины ребер SA,SB,SC и SD пирамиды SABCD. Известно, что отрезки AC_1,BD_1,CA_1 и DB_1 проходят через одну точку и имеют равные длины. Докажите, что ABCD – прямоугольник.

(Н. Агаханов)

11.7. Докажите неравенство

\displaystyle \frac{x}{7+y^3+z^3}+\frac{y}{7+z^3+x^3}+\frac{z}{7+x^3+y^3}\le\frac{1}{3} .

(М. Сонкин)

11.8. Каждый из узлов бесконечного клетчатого листа бумаги раскрашен в один из двух цветов. Докажите, что существует бесконечное одноцветное множество узлов, имеющее центр симметрии.

(В. Протасов)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение