10 класс

Первый день

10.1. Найдите все функции f, удовлетворяющие при любых действителных x и y уравнению

f(x-y)=f(x)+f(y)-2xy .

(Р. Женодаров)

10.2. Найдите тройки чисел a,b и c, являющихся степенями пятерки с целыми неотрицательными показателями, такие, что одно из них получается выписыванием двух других подряд.

(В. Сендеров)

10.3. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Пусть M и N – точки пересечения окружностей, одна из которых проходит через точки A и B, а другая – через точки C и D. Найдите геометрическое место точек N, если точка M лежит на отрезке OC и не совпадает с его концами.

(М. Сонкин)

10.4. На 115 карточках написаны целые числа 1,2,\ldots,115. Все карточки сложены в стопку так, что разность между числами на любых двух соседних карточках равна либо n, либо m. Оказалось, что для данных m и n существует только один способ сложить стопку с таким свойством. Какое число написано на нижней карточке стопки, если на верхней написано число 19?

(Р. Женодаров)

Второй день

10.5. Найдите все тройки ненулевых чисел a,b  и c, образующих арифметическую прогрессию, и таких, что из чисел \displaystyle \frac{1}{a},\frac{1}{b} и \displaystyle \frac{1}{c} также можно составить арифметическую прогрессию.

(Н. Агаханов)

10.6. Сечение куба плоскостью – пятиугольник. Докажите, что площадь пятиугольника меньше произведения двух самых длинных его сторон.

(И. Акулич)

10.7. На клетчатой бумаге лежит квадрат с вершинами в узлах сетки. Его передвинули, но так, что две вершины снова попали в узлы. Докажите, что две другие вершины тоже попали в узлы.

(А. Шаповалов)

10.8. В классе 20 учеников. Каждый дружит не менее, чем с 10 другими. Докажите, что в этом классе можно выбрать две тройки учеников так, чтобы любой ученик из одной тройки дружил с любым учеником из другой тройки.

(А. Грибалко)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение