9 класс

Первый день

9.1. Считается, что ученик A учится лучше ученика B, если в большинстве контрольных работ оценка у A выше, чем у B. Приведите пример ситуации, когда ученик A учится лучше, чем B, ученик B – лучше, чем C, а ученик C – лучше, чем A.

(А. Белов)

9.2. У трех братьев – Андрея, Василия и Сергея – дни рождения совпадают. Когда старшему из них, Андрею, исполнилось 12 лет, то оказалось, что сумма возрастов трех братьев делится на 12. То же случилось, когда 12 лет исполнилось Василию. Докажите, что то же самое случится, когда 12 лет исполнится Сергею.

(А. Шаповалов)

9.3. Точечный прожектор освещает угол 45^{\circ}. Какое наименьшее количество прожекторов можно поставить внутри квадратной площадки так, чтобы полностью ее осветить?

(Д. Кузнецов)

9.4. Дана белая доска размером 100\times100 клеток. Двое по очереди красят ее клетки в черный цвет, причем первый всегда закрашивает квадрат 2\times2, а второй – три клетки, образующие “уголок”. Уже покрашенную клетку второй раз красить нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре: первый или второй?

(Р. Женодаров)

Второй день

9.5. На доске были раписаны три числа. Когда их стерли и написали их произведение, сумму и сумму их попарных произведений, оказалось, что на доске снова написаны те же числа. Какие числа могли быть первоначально записаны на доске?

(Н. Агаханов)

9.6. В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. Через точку L к окружности, описанной около треугольника BLC, проведена касательная, пересекающая сторону AB в точке P. Докажите, что прямая AC касается окружности, описанной около треугольника BPL.

(Н. Нецветаев)

9.7. На некотором острове, где живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут, объявлен конкурс на должность мэра. Каждый из n претендентов на эту должность сделал заявение, а именно: k-й претендент (1\le k\le n) сказал: “Не считая меня, среди претендентов лжецов на k больше, чем рыцарей”. Сколько человек претендуют на должность мэра?

(А. Шаповалов)

9.8. Двадцать восемь контрольных пунктов секретного объекта соединены системой коридоров (см. рисунок). Каждый коридор соединяет два пункта и может быть освещен или затемнен. На каждом контрольном пункте есть переключатель, меняющий освещенность всех подходящих к нему коридоров на противоположную. Начальник охраны ходит по объекту и в некоторых контрольных пунктах меняет освещенность. Какое наибольшее количество коридоров он может сделать освещенными?

(Р. Женодаров)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение