Математика, которая мне нравится

Первый день

8.1. Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя цифры четны?

(К. Кохась)

8.2. Восстановите пример на умножение (см. рисунок), если известно, что сумма цифр у обоих сомножителей одинакова.

(Н. Авилов)

8.3. Круглый торт весом 1 кг разрезан на части тремя прямолинейными разрезами. Известно, что два из этих разрезов проходят через центр торта, а третий не проходит. Докажите, что вес по крайней мере одной из получившихся частей составляет не менее \frac{1}{6} кг.

(И. Рубанов)

8.4. Дана полоска клетчатой бумаги длиной в 100 клеток. Двое играющих по очереди красят клетки в черный цвет, причем первый всегда красит четыре подряд идущие клетки, а второй – три подряд стоящие. Уже покрашенную клетку второй раз красить нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре: первый или второй?

(Р. Женодаров)

Второй день

8.5. Каркас куба с ребром длины 4 разделен точками на единичные отрезки (см. рисунок). Сколько различных прямых определяют эти точки?

(Н. Авилов)

8.6. Дан правильный треугольник ABC. На продолжении стороны AC за точку C взята точка D, а на продолжении стороны BC за точку C – точка E так, что BD=DE. Докажите, что AD=CE.

(Л. Купцов)

8.7. Можно ли в кружочках (см. рисунок) расставить все целые числа от 0 до 9 так, чтобы сумма трех чисел по любому из шести отрезков была одной и той же?

(Жюри)

8.8. На горизонтальной поверхности лежат в ряд, касаясь друг друга, 100 одинаковых бревен, сплошь вымазанных дегтем. В ложбину между двумя самыми левыми бревнами кладут такое же, но чистое бревно и без проскальзывания катят его вправо до самой правой ложбины. Какая часть боковой поверхности этого бревна останется чистой к концу пути?

(И. Рубанов)