10 класс
Первый день
10.1. Решите уравнение
(Д. Кузнецов)
10.2. Дан треугольник , в котором
,
. На стороне
выбрана точка
, на продолжении стороны
за точку
выбрана точка
так, что
. Докажите, что площади треугольников
и
равны.
(С. Токарев)
10.3. На доске через запятую выписаны числа . Двое играющих по очереди заменяют одну из имеющихся запятых на знак “
” или “
” (“умножить”). После того как останется, игроки вычисляют значение полученного выражения. Если результат является нечетным числом, то выигрывает первый, а если четным — то второй. Кто выигрывает при правильной игре?
(А. Шаповалов)
10.4. Определите, сколько пар целых чисел удовлетворяет системе неравенств
(Н. Нецветаев)
Второй день
10.5. Ученик Вася рвет листок с условиями задач областной олимпиады 1996 года. За одну секунду он может разорвать какой-то один из имеющихся клочков на 2 части, либо разорвать на 2 части каждый из имеющихся клочков. Может ли Вася ровно через 500 секунд получить ровно 1996 клочков?
(Жюри)
10.6. На некотором острове, где живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут, объявлен конкурс на должность мэра. Каждый из претендентов на эту должность сделал заявление, а именно:
-й претендент (
) сказал: “Не считая меня, среди претендентов лжецов на
больше, чем рыцарей”. Сколько человек претендует на должность мэра?
(А. Шаповалов)
10.7. В равнобедренную трапецию (
) вписана окружность. Пусть
— точка касания окружности со стороной
,
— точка пересечения окружности с отрезком
,
— точка пересечения окружности с отрезком
. Вычислите величину
(А. Орлов)
10.8. Какое наименьшее число круглых фишек диаметром можно расставить на доске размером
клеток (длина стороны клетки равна
) так, чтобы внутри каждой клетки хотя бы одна точка была бы накрыта некоторой фишкой?
(О. Богопольский)
Оставьте свой отзыв