10 класс

Первый день

10.1. Решите уравнение

19[x]-96\{ x\}=0.

(Д. Кузнецов)

10.2. Дан треугольник ABC, в котором AB=BC, AB\ne AC. На стороне AB выбрана точка E, на продолжении стороны AC за точку A выбрана точка D так, что \angle BDC=\angle ECA. Докажите, что площади треугольников DEC и ABC равны.

(С. Токарев)

10.3. На доске через запятую выписаны числа 1,2,\ldots,99. Двое играющих по очереди заменяют одну из имеющихся запятых на знак “+” или “\cdot” (“умножить”). После того как останется, игроки вычисляют значение полученного выражения. Если результат является нечетным числом, то выигрывает первый, а если четным – то второй. Кто выигрывает при правильной игре?

(А. Шаповалов)

10.4. Определите, сколько пар целых чисел (x;y) удовлетворяет системе неравенств

\left\{ \begin{array}{l}<br />
2x \ge 3y,\\ 3x \ge 4y,\\ 5x-7y \le 20.<br />
\end{array} \right.

(Н. Нецветаев)

Второй день

10.5. Ученик Вася рвет листок с условиями задач областной олимпиады 1996 года. За одну секунду он может разорвать какой-то один из имеющихся клочков на 2 части, либо разорвать на 2 части каждый из имеющихся клочков. Может ли Вася ровно через 500 секунд получить ровно 1996 клочков?

(Жюри)

10.6. На некотором острове, где живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут, объявлен кнкурс на должность мэра. Каждый из n претендентов на эту должность сделал заявление, а именно: k-й претендент (1\le k\le n) сказал: “Не считая меня, среди претендентов лжецов на k больше, чем рыцарей”. Сколько человек претендует на должность мэра?

(А. Шаповалов)

10.7. В равнобедренную трапецию ABCD (AB=CD) вписана окружность. Пусть M – точка касания окружности со стороной CD, K – точка пересечения окружности с отрезком AM, L – точка пересечения окружности с отрезком BM. Вычислите величину

\displaystyle \frac{AM}{AK}+\frac{BM}{BL} .

(А. Орлов)

10.8. Какое наименьшее число круглых фишек диаметром \sqrt{2} можно расставить на доске размером 7\times7 клеток (длина стороны клетки равна 1) так, чтобы внутри каждой клетки хотя бы одна точка была бы накрыта некоторой фишкой?

(О. Богопольский)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение