10 класс

Первый день

10.1. Решите уравнение

$19[x]-96\{ x\}=0.$

(Д. Кузнецов)

10.2. Дан треугольник $ABC$ , в котором $AB=BC$ , $AB\ne AC$ . На стороне $AB$ выбрана точка $E$ , на продолжении стороны $AC$ за точку $A$ выбрана точка $D$ так, что $\angle BDC=\angle ECA$ . Докажите, что площади треугольников $DEC$ и $ABC$ равны.

(С. Токарев)

10.3. На доске через запятую выписаны числа $1,2,\ldots,99$ . Двое играющих по очереди заменяют одну из имеющихся запятых на знак “ $+$ ” или “ $\cdot$ ” (“умножить”). После того как останется, игроки вычисляют значение полученного выражения. Если результат является нечетным числом, то выигрывает первый, а если четным — то второй. Кто выигрывает при правильной игре?

(А. Шаповалов)

10.4. Определите, сколько пар целых чисел $(x;y)$ удовлетворяет системе неравенств

$\left\{ \begin{array}{l} 2x \ge 3y,\\ 3x \ge 4y,\\ 5x-7y \le 20. \end{array} \right.$

(Н. Нецветаев)

Второй день

10.5. Ученик Вася рвет листок с условиями задач областной олимпиады 1996 года. За одну секунду он может разорвать какой-то один из имеющихся клочков на 2 части, либо разорвать на 2 части каждый из имеющихся клочков. Может ли Вася ровно через 500 секунд получить ровно 1996 клочков?

(Жюри)

10.6. На некотором острове, где живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут, объявлен конкурс на должность мэра. Каждый из $n$ претендентов на эту должность сделал заявление, а именно: $k$ -й претендент ( $1\le k\le n$ ) сказал: “Не считая меня, среди претендентов лжецов на $k$ больше, чем рыцарей”. Сколько человек претендует на должность мэра?

(А. Шаповалов)

10.7. В равнобедренную трапецию $ABCD$ ( $AB=CD$ ) вписана окружность. Пусть $M$ — точка касания окружности со стороной $CD$ , $K$ — точка пересечения окружности с отрезком $AM$ , $L$ — точка пересечения окружности с отрезком $BM$ . Вычислите величину

$\frac{AM}{AK}+\frac{BM}{BL} .$

(А. Орлов)

10.8. Какое наименьшее число круглых фишек диаметром $\sqrt{2}$ можно расставить на доске размером $7\times7$ клеток (длина стороны клетки равна $1$ ) так, чтобы внутри каждой клетки хотя бы одна точка была бы накрыта некоторой фишкой?