Математика, которая мне нравится

Первый день

10.1. Решите уравнение

(Д. Кузнецов)

10.2. Дан треугольник ABC, в котором AB=BC, AB\ne AC. На стороне AB выбрана точка E, на продолжении стороны AC за точку A выбрана точка D так, что \angle BDC=\angle ECA. Докажите, что площади треугольников DEC и ABC равны.

(С. Токарев)

10.3. На доске через запятую выписаны числа 1,2,\ldots,99. Двое играющих по очереди заменяют одну из имеющихся запятых на знак “+” или “\cdot” (“умножить”). После того как останется, игроки вычисляют значение полученного выражения. Если результат является нечетным числом, то выигрывает первый, а если четным – то второй. Кто выигрывает при правильной игре?

(А. Шаповалов)

10.4. Определите, сколько пар целых чисел (x;y) удовлетворяет системе неравенств

(Н. Нецветаев)

Второй день

10.5. Ученик Вася рвет листок с условиями задач областной олимпиады 1996 года. За одну секунду он может разорвать какой-то один из имеющихся клочков на 2 части, либо разорвать на 2 части каждый из имеющихся клочков. Может ли Вася ровно через 500 секунд получить ровно 1996 клочков?

(Жюри)

10.6. На некотором острове, где живут только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут, объявлен кнкурс на должность мэра. Каждый из n претендентов на эту должность сделал заявление, а именно: k-й претендент (1\le k\le n) сказал: “Не считая меня, среди претендентов лжецов на k больше, чем рыцарей”. Сколько человек претендует на должность мэра?

(А. Шаповалов)

10.7. В равнобедренную трапецию ABCD (AB=CD) вписана окружность. Пусть M – точка касания окружности со стороной CD, K – точка пересечения окружности с отрезком AM, L – точка пересечения окружности с отрезком BM. Вычислите величину

(А. Орлов)

10.8. Какое наименьшее число круглых фишек диаметром \sqrt{2} можно расставить на доске размером 7\times7 клеток (длина стороны клетки равна 1) так, чтобы внутри каждой клетки хотя бы одна точка была бы накрыта некоторой фишкой?

(О. Богопольский)