Математика, которая мне нравится

Первый день

9.1. Докажите, что сумма попарных произведений трех последовательных натуральных чисел не может равняться 3000000.

Показать решение

9.2. На стороне AB треугольника ABC взята точка P, отличная от точек A и B, а на сторонах BC и AC – точки Q и R соответственно так, что четырехугольник PQCR – параллелограмм. Пусть отрезки AQ и PR пересекаются в точке M, а отрезки BR и PQ – в точке N. Докажите, что сумма площадей треугольников AMP и BNP равна площади треугольника CQR.

Показать решение

9.3. Клетки квадратной таблицы 15\times15 раскрашены в красный, синий и зеленый цвета. Докажите, что найдутся по крайней мере две строки, в которых клеток хотя бы одного цвета поровну.

Показать решение

9.4. Можно ли разрезать квадрат на несколько равных прямоугольных треугольников с острым углом 30^{\circ}?

Показать решение

Второй день

9.5. Решите уравнение

9.6. В окружность вписан равносторонний треугольник ABC. На дуге AB, не содержащей точки C, выбрана точка M, отличная от A и B. Пусть прямые AC и BM пересекаются в точке K, а прямые BC и AM – в точке N. Докажите, что произведение длин отрезков AK и BN не зависит от выбора точки M.

9.7. Сумма нескольких натуральных чисел, в записи каждого из которых участвуют только цифры 3 и 0, равна \displaystyle\underbrace{55\ldots55}_{1995} (1995 пятерок). Какое наименьшее число слагаемых может быть в этой сумме?

9.8. Дан квадрат, разбитый на клетки 1\times1. По линиям разбиения (внутри квадрата или на его границе) проведено несколько контуров, каждый из которых ограничивает некоторый прямоугольник. Может ли оказаться так, что через любую сторону любой клетки будет проходить нечетное число указанных контуров?