9 класс
Первый день
9.1. Докажите, что сумма попарных произведений трех последовательных натуральных чисел не может равняться 3000000.
и 
. Сумма их попарных произведений равна
,
, в отличие от числа 
.9.2. На стороне 
треугольника 
взята точка 
, отличная от точек 
и 
, а на сторонах 
и 
– точки 
и 
соответственно так, что четырехугольник 
– параллелограмм. Пусть отрезки 
и 
пересекаются в точке 
, а отрезки 
и 
– в точке 
. Докажите, что сумма площадей треугольников 
и 
равна площади треугольника 
.
Тогда по теореме о пропорциональных отрезках имеем (прямые 
параллельны, прямые 
.9.3. Клетки квадратной таблицы 
раскрашены в красный, синий и зеленый цвета. Докажите, что найдутся по крайней мере две строки, в которых клеток хотя бы одного цвета поровну.
синих и 
клеток, тогда как в ней имеется 
клеток. Полученное противоречие говорит о том, что по крайней мере в двух строках количество клеток одного какого-то цвета совпадает.9.4. Можно ли разрезать квадрат на несколько равных прямоугольных треугольников с острым углом 
?
, тогда его больший катет равен 
, а гипотенуза равна 
. Площадь такого треугольника равна 
. На стороне квадрата 
укладывается целое число катетов и гипотенуз, то есть 
, где числа 
и 
целые неотрицательные. Найдем площадь квадрата. Она равна
.
треугольников, равна 
. Следовательно, имеем
,
Второй день
9.5. Решите уравнение
9.6. В окружность вписан равносторонний треугольник . На дуге , не содержащей точки 
, выбрана точка , отличная от и . Пусть прямые и 
пересекаются в точке 
, а прямые и 
– в точке . Докажите, что произведение длин отрезков 
и 
не зависит от выбора точки .
9.7. Сумма нескольких натуральных чисел, в записи каждого из которых участвуют только цифры 3 и 0, равна 
(1995 пятерок). Какое наименьшее число слагаемых может быть в этой сумме?
9.8. Дан квадрат, разбитый на клетки 
. По линиям разбиения (внутри квадрата или на его границе) проведено несколько контуров, каждый из которых ограничивает некоторый прямоугольник. Может ли оказаться так, что через любую сторону любой клетки будет проходить нечетное число указанных контуров?
Оставьте свой отзыв