9 класс
Первый день
9.1. Докажите, что сумма попарных произведений трех последовательных натуральных чисел не может равняться .
9.2. На стороне треугольника
взята точка
, отличная от точек
и
, а на сторонах
и
— точки
и
соответственно так, что четырехугольник
— параллелограмм. Пусть отрезки
и
пересекаются в точке
, а отрезки
и
— в точке
. Докажите, что сумма площадей треугольников
и
равна площади треугольника
.
9.3. Клетки квадратной таблицы раскрашены в красный, синий и зеленый цвета. Докажите, что найдутся по крайней мере две строки, в которых клеток хотя бы одного цвета поровну.
9.4. Можно ли разрезать квадрат на несколько равных прямоугольных треугольников с острым углом ?
Второй день
9.5. Решите уравнение
9.6. В окружность вписан равносторонний треугольник . На дуге
, не содержащей точки
, выбрана точка
, отличная от
и
. Пусть прямые
и
пересекаются в точке
, а прямые
и
— в точке
. Докажите, что произведение длин отрезков
и
не зависит от выбора точки
.
9.7. Сумма нескольких натуральных чисел, в записи каждого из которых участвуют только цифры и
, равна
(1995 пятерок). Какое наименьшее число слагаемых может быть в этой сумме?
9.8. Дан квадрат, разбитый на клетки . По линиям разбиения (внутри квадрата или на его границе) проведено несколько контуров, каждый из которых ограничивает некоторый прямоугольник. Может ли оказаться так, что через любую сторону любой клетки будет проходить нечетное число указанных контуров?
Оставьте свой отзыв