8 класс

Первый день

8.1. Существуют ли такие двузначные числа \overline{ab} и \overline{cd}, что

\overline{ab}\cdot\overline{cd}=\overline{abcd}?

Показать решение

8.2. В классе не менее 95,5% и не более 96,5% учеников учатся без двоек. При каком наименьшем количестве учеников это возможно?

Показать решение

8.3. Дан равнобедренный треугольник с углом 20^{\circ} при вершине. Докажите, что его боковая сторона больше удвоенного основания.

Показать решение

8.4. В кружочках расположены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 (см. рисунок слева). За один ход разрешается выбрать любую пару соседних (соединенных отрезком) чисел и прибавить к каждому из них одно и то же целое число (это число может меняться от шага к шагу). Можно ли из совокупности чисел на рисунке слева получить совокупность чисел, изображенных на рисунке справа?

Показать решение

Второй день

8.5. Двое по очереди закрашивают клетки таблицы 8\times8. Одним ходом разрешается закрасить одну или несколько клеток, расположенных либо в одной строке, либо в одном столбце таблицы. Клетки, закрашенные ранее, вторично закрашивать запрещается. Проигравшим считается тот из игроков, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?

Показать решение

8.6. Докажите, что для любых чисел x и y справедливо неравенство

2x^4+2y^4\ge xy(x+y)^2 .

Показать решение

8.7. Назовем натуральное число симметричным, если число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, совпадает с исходным. Найдите все симметричные числа, которые при добавлении к ним числа 1995 остаются симметричными.

Показать решение

8.8. В треугольниках ABC и A_1B_1C_1 отрезки CD и C_1D_1 – биссектрисы углов C и C_1 соответственно. Известно, что AB=A_1B_1, CD=C_1D_1 и \angle ADC=\angle A_1D_1C_1. Докажите, что треугольники ABC и A_1B_1C_1 равны.

Показать решение

Комментариев: 3

  1. 1 Ян Альбертович Дененберг:

    У Вас очепяточка в решении задачи 8.4.
    Вместо “-4″ следует читать “-3″, а вместо “4″ следует читать “3″.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Ян Альбертович, спасибо! Исправила.

    [Ответить]

  2. 2 Лейб:

    Задачу 8.1 можно решить немного короче.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Убедимся, что правая часть всегда больше левой:
    \overline{abcd}=\overline{ab}\cdot100+\overline{cd}><br />
\overline{ab}\cdot100>\overline{ab}\cdot\overline{cd}
    Так как число 100 – больше любого двузначного числа.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение