11 класс

Первый день

11.1. Докажите, что если a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca<0, то a^2+b^2<c^2.

11.2. На клетчатой доске 4\times4 играют двое. Ходят по очереди, и каждый играющий своим ходом закрашивает одну клетку. Клетки закрашиваются один раз. Проигрывает тот, после чьего хода образуется квадрат 2\times2, состоящий из закрашенных клеток. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?

11.3. В треугольнике ABC с острым углом при вершине A проведены биссектриса AE и высота BH. Известно, что \angle AEB=45^{\circ}. Найдите угол EHC.

11.4. В некотором районе, состоящем из нескольких деревень, число женихов равно числу невест. Известно, что в каждой из деревень общее число женихов и невест не превосходит половины от общего числа женихов и невест всего района. Докажите, что всех молодых людей можно поженить так, что в каждой паре муж и жена будут из разных деревень.

Второй день

11.5. Назовем натуральное число симметричным, если число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, совпадает с исходным. Найдите все симметричные числа, которые при прибавлении к ним числа 1995 остаются симметричными.

11.6. Каждое из чисел x,y и z равно косинусу суммы двух остальных. Докажите, что x=y=z.

11.7. Дан остроугольный треугольник ABC. Точки P,Q и R расположены так, что основания перпендикуляров, опущенных из нах на каждую из прямых AB,BC и CA, принадлежат отрезкам AB,BC и CA соответственно. Докажите, что площадь треугольника PQR не превосходит площади треугольника ABC.

11.8. Можно ли правильный шестиугольник со стороной длины n (n – натуральное число) разрезать на фигурки вида  фигурка составлена из четырех равносторонних треугольников со стороной 1)?

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение