10 класс

Первый день

10.1. Решите в целых числах систему уравнений

\left\{\begin{array}{l}<br />
xy+z=94,\\<br />
x+yz=95.<br />
\end{array}\right.

10.2. В выпуклом четырехугольнике ABCD биссектрисы углов CAD и CBD пересекаются на стороне CD. Докажите, что биссектрисы углов ACB и ADB пересекаются на стороне AB.

10.3. Микрокалькулятор “АХ-95” работает только с четверками чисел и выполняет только две операции:

1) переводит (a,b,c,d) в (a+1,b+1,c+1,d+1);

2) переводит (a,b,c,d) в (a,b-1,c+2,d+1).

Можно ли при помощи этого калькулятора из четверки (3,4,2,1) получить четверку (6,5,7,8)?

10.4. В некотором районе, состоящем из нескольких деревень, число женихов равно числу невест. Известно, что в каждой из деревень общее число женихов и невест не превосходит половины от общего числа женихов и невест всего района. Докажите, что всех этих молодых людей можно поженить так, что в каждой паре муж и жена будут из разных деревень.

Второй день

10.5. При каком наименьшем n число \displaystyle1\underbrace{22\ldots22}_{n}1 (n двоек) делится на 999\,999\,999?

10.6. Решите уравнение

[x]+\left[ x^2\right]=\left[ x^3\right] .

10.7. Внутри острого угла AXY (с вершиной A) взята точка D, а на его сторонах – точки B и C так, что \angle ABC=\angle XBD и \angle ACB=\angle YCD. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на отрезке AD.

10.8. Дан квадрат, разбитый на клетки 1\times1. По линиям разбиения (внутри квадрата или на его границе) проведено несколько контуров, каждый из которых ограничивает некоторый прямоугольник. Может ли оказаться так, что через любую сторону любой клетки будет проходить нечетное число указанных контуров?

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение