#x0441;

9 класс

Первый день

9.1. Натуральное число n является произведением двух различных простых чисел, а сумма его делителей, считая 1, но не считая n, равна 1000. Найдите все такие n.

Показать решение

9.2. На стороне BC равнобедренного треугольника ABC (AB=BC) взяли точки N и M (N ближе к B, чем M) такие, что NM=AM и \angle MAC=\angle BAN. Найдите \angle CAN.

Показать решение

9.3. Докажите, что при любых отличных от нуля числах a,b и c хотя бы одно из квадратных уравнений ax^2+2bx+c=0, bx^2+2cx+a=0 и cx^2+2ax+b=0 имеет корень.

Показать решение

9.4. Каждую грань кубика разбили на четыре одинаковых квадрата, а затем раскрасили эти квадраты в несколько цветов так, что квадраты, имеющие общую сторону, оказались закрашенными в различные цвета. Какое наибольшее количество квадратов одного цвета могло получиться?

Показать решение

Второй день

9.5. На главной диагонали шашечной доски 10\times10 стоит десять шашек (все в разных клетках). За один ход разрешается выбрать любую пару шашек и передвинуть каждую из них на одну клетку вниз. Можно ли за несколько таких ходов поставить все шашки на нижнюю горизонталь?

Показать решение

9.6. Найдите все целые a, при которых уравнение x^2+ax+a=0 имеет целый корень.

Показать решение

9.7. В окружности проведены две пересекающиеся хорды AB и CD. На отрезке AB взяли точку M так, что AM=AC, а на отрезке CD – точку N так, что DN=DB (см. рисунок). Докажите, что если точки M и N не совпадают, то прямая MN параллельна прямой AD.

Показать решение

9.8. На полке в произвольном порядке стоит десятитомное собрание сочинений Ильфа и Петрова. Библиотекарь может взять любой том с полки и поставить его на пятое место (считая слева). Докажите, что с помощью нескольких таких операций библиотекарь сможет расставить тома в порядке возрастания номеров.

Показать решение

Один комментарий

  1. 1 Результаты голосования | Математика, которая мне нравится:

    [...] Решения задач будут выкладываться сразу же, вместе с условиями, однако они будут закрыты. Для того чтобы увидеть решение, нужно будет просто кликнуть на надпись “Показать решение”. Решение появится тут же, без перехода на другую страницу. Его можно будет и скрыть, если нужно, кликнув на “скрыть решение”. Пример того, как это будет выглядеть, можно увидеть здесь. [...]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение