9 класс
Первый день
9.1. Натуральное число 
является произведением двух различных простых чисел, а сумма его делителей, считая 1, но не считая , равна 1000. Найдите все такие .
, где 
и 
— различные простые числа. Тогда по условию задачи ![\[p+q+1=1000,\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-215cd6b3af7249c9a2cdee2cc5f367f9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. Так как числа 
. Следовательно, 
или наоборот. Осталось убедиться, что число 
простое. Это действительно так. Оно не делится ни на одно из простых чисел 
. Следовательно, можем найти 
.
.9.2. На стороне 
равнобедренного треугольника 
(
) взяли точки 
и 
( ближе к 
, чем ) такие, что 
и 
. Найдите 
.
.
, так как 
по условию.
— внешний угол треугольника 
, поэтому![\[\beta=\angle CNA=\angle BAN+\angle B=\alpha+\angle B.\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1d56aff0cd544c8e68eb7e34b429178b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\angle A=\angle BAN+\angle NAM+\angle MAC=2\alpha+\beta=3\alpha+\angle B,\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-50ee1ce50336d220e50170893754f88e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\angle A+\angle B+\angle C=2\angle A+\angle B=6\alpha+3\beta=180^{\circ}\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-92781b8884e87282caf5063a91692362_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.![\[4\alpha+2\beta+\angle B=180^{\circ}.\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c6a42943fcfbab1189fd12e419adbfb3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[2\alpha+2\beta=120^{\circ},\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9b891e27b6ab347f2fd3f0cb42a39383_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\alpha+\beta=60^{\circ},\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8726d3da92fca22faa0fee0f5b921a87_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
).
.9.3. Докажите, что при любых отличных от нуля числах 
и 
хотя бы одно из квадратных уравнений 
, 
и 
имеет корень.
![\[b^2<ac,c^2<ab,a^2<bc .\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cb9ea9eb1318919d9b4a392a330c3be_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[a^2b^2c^2<a^2b^2c^2 .\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-695171a221d97afe7ea0360fbc0a6d31_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
9.4. Каждую грань кубика разбили на четыре одинаковых квадрата, а затем раскрасили эти квадраты в несколько цветов так, что квадраты, имеющие общую сторону, оказались закрашенными в различные цвета. Какое наибольшее количество квадратов одного цвета могло получиться?
Второй день
9.5. На главной диагонали шашечной доски 
стоит десять шашек (все в разных клетках). За один ход разрешается выбрать любую пару шашек и передвинуть каждую из них на одну клетку вниз. Можно ли за несколько таких ходов поставить все шашки на нижнюю горизонталь?
![\[1+2+3+4+5+6+7+8+9=\frac{9\cdot10}{2}=45 .\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c30e36cce63ed0a4b1c166b567a88a2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
9.6. Найдите все целые 
, при которых уравнение 
имеет целый корень.
и 
. Тогда по ![\[x_1x_2=a,x_1+x_2=-a .\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-975a255387b8bd539e141c554b937d47_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x_1x_2+x_1+x_2=0\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b18f972db44b98de5f0432ab0fd32845_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x_1(x_2+1)+(x_2+1)-1=0 .\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-be3bfaf8c5f9734409ff8cd325382200_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[(x_1+1)(x_2+1)=1,\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-647b9bfe586ba26aea0f76637be6fbfc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x_1+1=1,x_2+1=1\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c61ea140382ed6a0d43e24769bc67fac_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x_1+1=-1,x_2+1=-1 .\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2688a3b68bbe4fa89c0d59935fc5e09c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, либо 
.
или 
.9.7. В окружности проведены две пересекающиеся хорды 
и 
. На отрезке взяли точку так, что 
, а на отрезке — точку так, что 
(см. рисунок). Докажите, что если точки и не совпадают, то прямая 
параллельна прямой 
.
и 
равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу 
. Так как треугольники 
и 
), то 
, а значит, вокруг четырехугольника 
можно описать окружность 
. Углы 
как вписанные в окружность 
как вписанные в исходную окружность и опирающиеся на одну дугу 
. Поскольку 
, то прямые 9.8. На полке в произвольном порядке стоит десятитомное собрание сочинений Ильфа и Петрова. Библиотекарь может взять любой том с полки и поставить его на пятое место (считая слева). Докажите, что с помощью нескольких таких операций библиотекарь сможет расставить тома в порядке возрастания номеров.
1 Результаты голосования | Математика, которая мне нравится:
[...] Решения задач будут выкладываться сразу же, вместе с условиями, однако они будут закрыты. Для того чтобы увидеть решение, нужно будет просто кликнуть на надпись “Показать решение”. Решение появится тут же, без перехода на другую страницу. Его можно будет и скрыть, если нужно, кликнув на “скрыть решение”. Пример того, как это будет выглядеть, можно увидеть здесь. [...]
12 Ноябрь 2011, 15:48