9 класс
Первый день
9.1. Натуральное число 
является произведением двух различных простых чисел, а сумма его делителей, считая 1, но не считая , равна 1000. Найдите все такие .
, где 
и 
— различные простые числа. Тогда по условию задачи 
. Так как числа 
. Следовательно, 
или наоборот. Осталось убедиться, что число 
простое. Это действительно так. Оно не делится ни на одно из простых чисел 
. Следовательно, можем найти 
.
.9.2. На стороне 
равнобедренного треугольника 
(
) взяли точки 
и 
( ближе к 
, чем ) такие, что 
и 
. Найдите 
.
.
, так как 
по условию.
— внешний угол треугольника 
, поэтому
.
.
.
, или 
,
).
.9.3. Докажите, что при любых отличных от нуля числах 
и 
хотя бы одно из квадратных уравнений 
, 
и 
имеет корень.
9.4. Каждую грань кубика разбили на четыре одинаковых квадрата, а затем раскрасили эти квадраты в несколько цветов так, что квадраты, имеющие общую сторону, оказались закрашенными в различные цвета. Какое наибольшее количество квадратов одного цвета могло получиться?
Второй день
9.5. На главной диагонали шашечной доски 
стоит десять шашек (все в разных клетках). За один ход разрешается выбрать любую пару шашек и передвинуть каждую из них на одну клетку вниз. Можно ли за несколько таких ходов поставить все шашки на нижнюю горизонталь?
9.6. Найдите все целые 
, при которых уравнение 
имеет целый корень.
и 
. Тогда по 
или 
, либо 
.
или 
.9.7. В окружности проведены две пересекающиеся хорды 
и 
. На отрезке взяли точку так, что 
, а на отрезке – точку так, что 
(см. рисунок). Докажите, что если точки и не совпадают, то прямая 
параллельна прямой 
.
и 
равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу 
. Так как треугольники 
и 
), то 
, а значит, вокруг четырехугольника 
можно описать окружность 
. Углы 
как вписанные в окружность 
как вписанные в исходную окружность и опирающиеся на одну дугу 
. Поскольку 
, то прямые 9.8. На полке в произвольном порядке стоит десятитомное собрание сочинений Ильфа и Петрова. Библиотекарь может взять любой том с полки и поставить его на пятое место (считая слева). Докажите, что с помощью нескольких таких операций библиотекарь сможет расставить тома в порядке возрастания номеров.
1 Результаты голосования | Математика, которая мне нравится:
[...] Решения задач будут выкладываться сразу же, вместе с условиями, однако они будут закрыты. Для того чтобы увидеть решение, нужно будет просто кликнуть на надпись “Показать решение”. Решение появится тут же, без перехода на другую страницу. Его можно будет и скрыть, если нужно, кликнув на “скрыть решение”. Пример того, как это будет выглядеть, можно увидеть здесь. [...]
12 Ноябрь 2011, 15:48