Первый день
9.1. Натуральное число
является произведением двух различных простых чисел, а сумма его делителей, считая 1, но не считая
, равна 1000. Найдите все такие
.
Показать решение
9.2. На стороне
равнобедренного треугольника
(
) взяли точки
и
(
ближе к
, чем
) такие, что
и
. Найдите
.
Показать решение
Обозначим
.
, так как
по условию.
— внешний угол треугольника
, поэтому
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\beta=\angle CNA=\angle BAN+\angle B=\alpha+\angle B.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1d56aff0cd544c8e68eb7e34b429178b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\angle A=\angle BAN+\angle NAM+\angle MAC=2\alpha+\beta=3\alpha+\angle B,\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-50ee1ce50336d220e50170893754f88e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\angle A+\angle B+\angle C=2\angle A+\angle B=6\alpha+3\beta=180^{\circ}\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-92781b8884e87282caf5063a91692362_l3.png)
(из треугольника
), или
.
Запишем то же равенство иначе:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[4\alpha+2\beta+\angle B=180^{\circ}.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c6a42943fcfbab1189fd12e419adbfb3_l3.png)
С учетом предыдущего равенства имеем
![Rendered by QuickLaTeX.com \[2\alpha+2\beta=120^{\circ},\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9b891e27b6ab347f2fd3f0cb42a39383_l3.png)
или
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\alpha+\beta=60^{\circ},\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8726d3da92fca22faa0fee0f5b921a87_l3.png)
а именно это и требовалось найти (
).
Ответ:
.
9.3. Докажите, что при любых отличных от нуля числах
и
хотя бы одно из квадратных уравнений
,
и
имеет корень.
Показать решение
Предположим, что ни одно из уравнений не имеет корней. Тогда дискриминанты всех этих уравнений отрицательны, откуда получаем неравенства
![Rendered by QuickLaTeX.com \[b^2<ac,c^2<ab,a^2<bc .\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cb9ea9eb1318919d9b4a392a330c3be_l3.png)
Левые части всех этих неравенств неотрицательны, следовательно, и правые тоже неотрицательны. Перемножим все три неравенства, получим
![Rendered by QuickLaTeX.com \[a^2b^2c^2<a^2b^2c^2 .\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-695171a221d97afe7ea0360fbc0a6d31_l3.png)
что невозможно. Тем самым, хотя бы одно из уравнений имеет корень.
9.4. Каждую грань кубика разбили на четыре одинаковых квадрата, а затем раскрасили эти квадраты в несколько цветов так, что квадраты, имеющие общую сторону, оказались закрашенными в различные цвета. Какое наибольшее количество квадратов одного цвета могло получиться?
Показать решение
Рассмотрим вершину куба, к ней прилегают три квадрата. Очевидно, что никакие два из них не могут быть одного цвета. Всего вершин у куба 8, и к ним прилегают 24 квадрата (8 троек), вместе это дает все квадраты, на которые разбита поверхность куба. Тем самым, больше 8 квадратов покрасить одним цветом нельзя.
А вот пример такой раскраски куба, чтобы было 8 черных квадратов и выполнялось условие задачи (тем самым, такая раскраска существует):

Ответ: 8 квадратов.
Второй день
9.5. На главной диагонали шашечной доски
стоит десять шашек (все в разных клетках). За один ход разрешается выбрать любую пару шашек и передвинуть каждую из них на одну клетку вниз. Можно ли за несколько таких ходов поставить все шашки на нижнюю горизонталь?
Показать решение
Найдем число ходов, которые должны сделать все шашки вместе:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[1+2+3+4+5+6+7+8+9=\frac{9\cdot10}{2}=45 .\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5c30e36cce63ed0a4b1c166b567a88a2_l3.png)
Таким образом, в общей сложности шашки нужно сдвинуть на 45 клеток. За каждый ход мы слвигаем две шашки, каждую на одну клетку. Тем самым, за любое число ходов мы можем сдвинуть шашки только на четное число клеток. Поэтому сдвинуть все шашки на нинюю горизонталь невозможно.
Ответ: нельзя.
9.6. Найдите все целые
, при которых уравнение
имеет целый корень.
Показать решение
Обозначим корни данного уравнения через
и
. Тогда по теореме Виета имеем
![Rendered by QuickLaTeX.com \[x_1x_2=a,x_1+x_2=-a .\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-975a255387b8bd539e141c554b937d47_l3.png)
Сложим эти два уравнения:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[x_1x_2+x_1+x_2=0\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b18f972db44b98de5f0432ab0fd32845_l3.png)
Сгруппируем слагаемые, выненсем общие множители:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[x_1(x_2+1)+(x_2+1)-1=0 .\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-be3bfaf8c5f9734409ff8cd325382200_l3.png)
Снова вынесем общий множитель:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[(x_1+1)(x_2+1)=1,\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-647b9bfe586ba26aea0f76637be6fbfc_l3.png)
откуда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[x_1+1=1,x_2+1=1\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c61ea140382ed6a0d43e24769bc67fac_l3.png)
или
![Rendered by QuickLaTeX.com \[x_1+1=-1,x_2+1=-1 .\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2688a3b68bbe4fa89c0d59935fc5e09c_l3.png)
Следовательно, либо
, либо
.
Ответ:
или
.
9.7. В окружности проведены две пересекающиеся хорды
и
. На отрезке
взяли точку
так, что
, а на отрезке
— точку
так, что
(см. рисунок). Докажите, что если точки
и
не совпадают, то прямая
параллельна прямой
.

Показать решение
9.8. На полке в произвольном порядке стоит десятитомное собрание сочинений Ильфа и Петрова. Библиотекарь может взять любой том с полки и поставить его на пятое место (считая слева). Докажите, что с помощью нескольких таких операций библиотекарь сможет расставить тома в порядке возрастания номеров.
Показать решение
Если первый том занимает какое-либо место, начиная с шестого до десятого, то сначала ставим его на пятое место. Если же он стоит на каком-либо месте с первого по пятое, то поочередно переставляем на пятое место тома, стоящие до него, до тех пор, пока первый том не будет стоять на первом месте.
Далее смотрим, где стоит десятый том. Если он занимает места со второго по четвертое, то сначала ставим его на пятое место. Далее поочередно ставим на пятое место все тома, которые стоят правее десятого, до тех пор, пока он не окажется на десятом месте.
Теперь уже трогать первый и десятый тома не будем. Аналогично тому, как это делали с первым томом, ставим на место второй, затем, как ставили десятый, поставим на свое место девятый том. Далее поставим на их места третий и восьмой тома, четвертый и седьмой, пятый (тогда шестой окажется на своем месте.
1 Результаты голосования | Математика, которая мне нравится:
[...] Решения задач будут выкладываться сразу же, вместе с условиями, однако они будут закрыты. Для того чтобы увидеть решение, нужно будет просто кликнуть на надпись “Показать решение”. Решение появится тут же, без перехода на другую страницу. Его можно будет и скрыть, если нужно, кликнув на “скрыть решение”. Пример того, как это будет выглядеть, можно увидеть здесь. [...]
12 Ноябрь 2011, 15:48