9 класс

Первый день

9.1. Натуральное число $n$ является произведением двух различных простых чисел, а сумма его делителей, считая 1, но не считая $n$ , равна 1000. Найдите все такие $n$ .

Показать решение

9.2. На стороне $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ ( $AB=BC$ ) взяли точки $N$ и $M$ ( $N$ ближе к $B$ , чем $M$ ) такие, что $NM=AM$ и $\angle MAC=\angle BAN$ . Найдите $\angle CAN$ .

Показать решение

9.3. Докажите, что при любых отличных от нуля числах $a,b$ и $c$ хотя бы одно из квадратных уравнений $ax^2+2bx+c=0$ , $bx^2+2cx+a=0$ и $cx^2+2ax+b=0$ имеет корень.

Показать решение

9.4. Каждую грань кубика разбили на четыре одинаковых квадрата, а затем раскрасили эти квадраты в несколько цветов так, что квадраты, имеющие общую сторону, оказались закрашенными в различные цвета. Какое наибольшее количество квадратов одного цвета могло получиться?

Показать решение

Второй день

9.5. На главной диагонали шашечной доски $10\times10$ стоит десять шашек (все в разных клетках). За один ход разрешается выбрать любую пару шашек и передвинуть каждую из них на одну клетку вниз. Можно ли за несколько таких ходов поставить все шашки на нижнюю горизонталь?

Показать решение

9.6. Найдите все целые $a$ , при которых уравнение $x^2+ax+a=0$ имеет целый корень.

Показать решение

9.7. В окружности проведены две пересекающиеся хорды $AB$ и $CD$ . На отрезке $AB$ взяли точку $M$ так, что $AM=AC$ , а на отрезке $CD$ — точку $N$ так, что $DN=DB$ (см. рисунок). Докажите, что если точки $M$ и $N$ не совпадают, то прямая $MN$ параллельна прямой $AD$ .

Показать решение

9.8. На полке в произвольном порядке стоит десятитомное собрание сочинений Ильфа и Петрова. Библиотекарь может взять любой том с полки и поставить его на пятое место (считая слева). Докажите, что с помощью нескольких таких операций библиотекарь сможет расставить тома в порядке возрастания номеров.

Показать решение

Комментарии (RSS) | Трекбек

Один комментарий

1 Результаты голосования | Математика, которая мне нравится:

[...] Решения задач будут выкладываться сразу же, вместе с условиями, однако они будут закрыты. Для того чтобы увидеть решение, нужно будет просто кликнуть на надпись “Показать решение”. Решение появится тут же, без перехода на другую страницу. Его можно будет и скрыть, если нужно, кликнув на “скрыть решение”. Пример того, как это будет выглядеть, можно увидеть здесь. [...]
12 Ноябрь 2011, 15:48

Математика, которая мне нравится

9 класс

Один комментарий

1 Результаты голосования | Математика, которая мне нравится:

Оставьте свой отзыв

Навигация по сайту

Разделы

Новые комментарии

Подписка на обновления сайта