11 класс

Первый день

11.1. В коробке лежат красные, желтые и зеленые карандаши трех размеров: короткие, средние и длинные. Известно, что имеются карандаши всех трех цветов и всех трех размеров. Верно ли, что обязательно найдутся три карандаша, попарно различающиеся одновременно и по цвету, и по размеру?

Показать решение

11.2. Докажите, что для любых действительных чисел a,b и c таких, что a>b>c>0, выполнено неравенство

\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}<\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} .

Показать решение

11.3. Центры четырех окружностей S_1,S_2,S_3 и S_4 лежат на окружности S. Окружности S_1 и S_2 пересекаются в точках A_1 и B_1S_2 и S_3 – в точках A_2 и B_2S_3 и S_4 – в точках A_3 и B_3S_4 и S_1 – в точках A_4 и B_4, причем точки A_1,A_2,A_3 и A_4 лежат на окружности S, а точки B_1,B_2,B_3 и B_4 различны и лежат внутри S. Докажите, что B_1B_2B_3B_4 – прямоугольник.

Показать решение

11.4. На координатной плоскости построены две параболы: y=x^2+4 и y=-x^2+2x, и к ним проведены две общие касательные. Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках касания является параллелограммом.

Показать решение

Второй день

11.5. На шахматную доску размера (2n-1)\times(2n-1) поставили 2n-1 ладью так, что ни одна из них не бьет другую. Докажите, что в любом квадрате n\times n стоит хотя бы одна ладья.

Показать решение

11.6. Точки E и F – середины сторон AB и AD параллелограмма ABCD, а отрезки CE и BF пересекаются в точке K. Точка M лежит на отрезке EC, причем BM\parallel KD. Докажите, что площади треугольника KFD и трапеции KBMD равны.

Показать решение

11.7. Для каких натуральных n числа 1,2,3,\ldots,4n можно разбить на n групп по четыре числа так, чтобы в каждой группе одно из чисел равнялось среднему арифметическому трех остальных?

Показать решение

11.8. Через точку внутри прямоугольного параллелепипеда провели три плоскости, параллельные его граням. При этом он оказался разбитым на восемь меньших параллелепипедов. Докажите, что по крайней мере у четырех из этих параллелепипедов объем не превышает 1/8 от объема исходного параллелепипеда.

Показать решение

Комментариев: 2

  1. 1 Ян Альбертович Дененберг:

    Опоздал с решением первой задачи, её уже решили.
    У меня было так – пять карандашей, первые три короткие всех трёх цветов, а другие два зелёные, средний и длинный. Тогда, если взять три карандаша попарно различных цветов, среди них обязательно будут жёлтый и красный, но они оба короткие. А если взять три карандаша попарно различных размеров, то среди них обязательно будут средний и длинный, но они оба зелёные.

    Как-то так…

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, все верно :-)

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение