11 класс
Первый день
11.1. В коробке лежат красные, желтые и зеленые карандаши трех размеров: короткие, средние и длинные. Известно, что имеются карандаши всех трех цветов и всех трех размеров. Верно ли, что обязательно найдутся три карандаша, попарно различающиеся одновременно и по цвету, и по размеру?
11.2. Докажите, что для любых действительных чисел 
и 
таких, что 
, выполнено неравенство
.11.3. Центры четырех окружностей 
и 
лежат на окружности 
. Окружности 
и 
пересекаются в точках 
и 
, и 
– в точках 
и 
, и – в точках 
и 
, и – в точках 
и 
, причем точки 
и лежат на окружности , а точки 
и различны и лежат внутри . Докажите, что 
– прямоугольник.
— центр окружности 
(
). Докажем, что точка 
(см. рисунок). Треугольники 
и 
равны по трем сторонам (
как радиусы одной окружности, 
— общая сторона). Следовательно, 
. С другой стороны, 
как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги 
и 
. Значит, 
, 
, 
. Найдем угол 
: 
11.4. На координатной плоскости построены две параболы: 
и 
, и к ним проведены две общие касательные. Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках касания является параллелограммом.
— это середина отрезка, соединяющего их вершины. Для доказательства этого достаточно рассмотреть три пары симметричных точек, например, 
и 
, 
и 
, 
и 
— любая парабола однозначно задается тремя точками. Следовательно, общие касательные также будут симметричны относительно этой точки, а значит, рассматриваемый четырехугольник будет иметь центр симметрии. Следовательно, это параллелограмм (противоположные стороны параллельны, так как диагональ пересекает их под равными углами). Второй день
11.5. На шахматную доску размера 
поставили 
ладью так, что ни одна из них не бьет другую. Докажите, что в любом квадрате 
стоит хотя бы одна ладья.
столбце должны стоять 11.6. Точки 
и 
– середины сторон 
и 
параллелограмма 
, а отрезки 
и 
пересекаются в точке 
. Точка 
лежит на отрезке 
, причем 
. Докажите, что площади треугольника 
и трапеции 
равны.
прямую, параллельную 
. Прямую 
в точке 
.
и 
.
, так как эти треугольники имеют общее основание (
), а высоты их отличаются в 2 раза. Отсюда 
.
и 
подобны (все их стороны попарно параллельны) с коэффициентом подобия 2. Следовательно, 
.
. В них 
как углы с параллельными сторонами, а значит,
.
и 
.
(все стороны попарно параллельны) 
. 
. 
. 
.
.11.7. Для каких натуральных 
числа 
можно разбить на групп по четыре числа так, чтобы в каждой группе одно из чисел равнялось среднему арифметическому трех остальных?
. В самом деле, пусть 
— числа одной группы, и 
. Тогда 
.
,
.11.8. Через точку внутри прямоугольного параллелепипеда провели три плоскости, параллельные его граням. При этом он оказался разбитым на восемь меньших параллелепипедов. Докажите, что по крайней мере у четырех из этих параллелепипедов объем не превышает 
от объема исходного параллелепипеда.
, а второго — через 
. Тогда длины сторон исходного параллелепипеда равны 
. Объем исходного параллелепипеда равен
,
и 
— объемы двух параллелепипедов из рассматриваемой пары, т.е.
.
, то 
.
Оставьте свой отзыв