Математика, которая мне нравится

Неверно. Например, в коробке могут лежать короткий и длинный красный карандаши, а также средние желтый и зеленый. Тогда среди любых трех различных по длине карандашей два будут красные.

поскольку .

Пусть — центр окружности (). Докажем, что точка лежит на (см. рисунок). Треугольники и равны по трем сторонам ( как радиусы одной окружности, — общая сторона). Следовательно, . С другой стороны, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги и . Значит, лежит на .

Аналогично доказывается, что лежит на , — на , — на . Найдем угол :

Однако

откуда

Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника прямые.

Параболы симметричны относительно точки — это середина отрезка, соединяющего их вершины. Для доказательства этого достаточно рассмотреть три пары симметричных точек, например, и , и , и — любая парабола однозначно задается тремя точками. Следовательно, общие касательные также будут симметричны относительно этой точки, а значит, рассматриваемый четырехугольник будет иметь центр симметрии. Следовательно, это параллелограмм (противоположные стороны параллельны, так как диагональ пересекает их под равными углами).

Поскольку ладьи не бьют друг друга, то в каждой строке и в каждом столбце стоит ровно по одной ладье. Пусть имеется квадрат , в котором ладей нет. Тогда в строках, соответствующих данному квадрату, в оставшихся столбце должны стоять ладей, что невозможно, так как по крайней мере в одном столбце тогда стоят 2 ладьи (принцип Дирихле).

Проведем через точку прямую, параллельную и пересекающуюся с в точке . Прямую продолжим до пересечения с в точке .

Из подобия треугольников и

Значит, , так как эти треугольники имеют общее основание (), а высоты их отличаются в 2 раза. Отсюда .

Треугольники и подобны (все их стороны попарно параллельны) с коэффициентом подобия 2. Следовательно, .

Рассмотрим треугольники и . В них как углы с параллельными сторонами, а значит,

Из подобия треугольников и (все их стороны попарно параллельны) .

Из подобия треугольников и (все стороны попарно параллельны) .

Подставляем последние два соотношения в формулу с отношением площадей треугольников и , получаем, что .

Следовательно, .

А .

Отсюда следует, что площадь трапеции равна площади треугольника .

Если числа удалось разбить на требуемые группы, то сумма чисел в каждой группе кратна . В самом деле, пусть — числа одной группы, и . Тогда .

Значит, сумма всех чисел

также делится на , а это возможно только при четном .

Покажем, что при любом четном такое разбиение возможно. Разобьем все числа на группы по 8 чисел в каждой, идущих подряд. Числа каждой группы разобьем на две группы. В первую отнесем числа вида

во вторую — числа вида

Следовательно, для четных требуемое разбиение возможно.

Разобьем маленькие параллелепипеды на пары так, чтобы в каждой паре два параллелепипеда прилегали к противоположным вершинам. Докажем, что в каждой из таких пар объем хотя бы одного параллелепипеда не больше объема исходного параллелепипеда.

Обозначим длины сторон одного параллелепипеда из пары через , а второго — через . Тогда длины сторон исходного параллелепипеда равны . Объем исходного параллелепипеда равен

(по неравенству между средним арифметическим и соредним геометрическим). Далее

где и — объемы двух параллелепипедов из рассматриваемой пары, т.е.

Из последнего неравенства сразу следует, что если , то .