10 класс

Первый день

10.1. Рассматривается последовательность натуральных чисел $2,6,30,\ldots$ , в которой -й член есть произведение первых простых чисел, $k=1,2,\ldots$ Известно, что разность некоторых двух чисел этой последовательности равна 30000 . Найдите эти числа.

Показать решение

10.2. В каждую клетку прямоугольника $10\times19$ записали одно из чисел или , после чего подсчитали суммы чисел в каждом столбце и в каждой строке. Какое наибольшее количество различных чисел могло получиться?

Показать решение

10.3. Угол при вершине равнобедренного треугольника ABC ( AB=AC ) равен $30^{\circ}$ . На сторонах и взяты точки и соответственно так, что $\angle QPC=45^{\circ}$ и PQ=BC . Докажите, что BC=CQ .

Показать решение

10.4. Найдите наименьшее целое , при котором для всех действительных выполняется неравенство $x^4+2x^2+a\ge4x$ .

Показать решение

Второй день

10.5. Докажите, что если $a,b\ge0$ , то

$a^3(b+1)+b^3(a+1)\ge a^2(b+b^2)+b^2(a+a^2) .$

Показать решение

10.6. Натуральные числа и имеют ровно по 99 натуральных делителей (считая 1 и само число). Может ли число иметь ровно 1000 натуральных делителей?

Показать решение

10.7. Через точку , лежащую вне окружности с центром , проведены две касательные, касающиеся окружности в точках и , и секущая, пересекающая окружность в точках и . Прямые и пересекаются в точке . Докажите, что точки M,N,K и лежат на одной окружности.

Показать решение

10.8. После проведения чемпионата России по футболу в два круга оказалось, что все команды набрали различное число очков, причем шесть московских команд набрали вместе столько же очков, сколько набрали вместе остальные двенадцать команд. Докажите, что среди московских команд есть призер чемпионата (команда, занявшая первое, второе или третье место).

(Примечание: за победу команда получала 2 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.)

Показать решение