9 класс

Первый день

9.1. Разбейте какой-нибудь клетчатый квадрат на клетчатые квадратики так, чтобы не все квадратики были одинаковы, но квадратиков каждого размера было одно и то же количество.

(Методкомиссия)

9.2. На доске написаны пять натуральных чисел. Оказалось, что сумма любых трех из них делится на каждое из остальных. Обязательно ли среди этих чисел найдутся четыре равных?

(С. Берлов, Д. Храмцов)

9.3. Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка E так, что AE = DE и \angle ABE = 90^{\circ} . Точка M — середина отрезка BC. Найдите угол DME.

(А. Кузнецов)

9.4. Кондитерская фабрика выпускает N сортов конфет. На Новый год фабрика подарила каждому из 1000 учеников школы подарок, содержащий по конфете нескольких сортов (составы подарков могли быть разными). Каждый ученик заметил, что для любых 11 сортов конфет он получил конфету хотя бы одного из этих сортов. Однако оказалось, что для любых двух сортов найдется ученик, получивший конфету ровно одного из этих двух сортов. Найдите наибольшее возможное значение N.

(Д. Храмцов)

9.5. Числа x, y и z удовлетворяют условию x^2 + y^2 + z^2 = 1. Докажите, что

    \[(x - y)(y - z)(x - z) 6 \le\frac{1}{\sqrt{2}}.\]

(Л. Емельянов, методкомиссия)

Второй день

9.6. На бесконечной ленте бумаги выписаны в порядке возрастания все натуральные числа с суммой цифр 2018. Какое число написано на 225-м месте?

(Методкомиссия)

9.7. Изначально по кругу расставлены 40 синих, 30 красных и 20 зеленых фишек, причем фишки каждого цвета идут подряд. За ход можно поменять местами стоящие рядом синюю и красную фишки, или стоящие рядом синюю и зеленую фишки. Можно ли за несколько таких операций добиться того, чтобы любые две стоящие рядом фишки были разных цветов?

(С. Берлов)

9.8. Сережа выбрал два различных простых числа p и q. Он считает натуральное число n хорошим, если число p + q можно представить в виде суммы ровно q чисел, каждое из которых имеет вид n^k при целом неотрицательном k. (Например, если бы Сережа выбрал p = 7 и q = 3, то он бы счел число n = 2 хорошим, поскольку 7 + 3 = 23 + 20 + 20). Докажите, что Сережа считает хорошими не более двух чисел.

(С. Волченков)

9.9. В окружности \omega с центром в точке O провели непересекающиеся хорды AB и CD так, что \angle AOB = \angle COD = 120^{\circ}. Касательная к \omega в точке A пересекает луч CD в точке X, а касательная к \omega в точке B пересекает луч DC в точке Y. Прямая \ell проходит через центры окружностей, описанных около треугольников DOX и COY. Докажите, что \ell касается \omega.

(А. Кузнецов)

9.10. В компании 100 детей, некоторые дети дружат (дружба всегда взаимна). Известно, что при выделении любого ребенка остав шихся 99 детей можно разбить на 33 группы по три человека так, чтобы в каждой группе все трое попарно дружили. Найдите наименьшее возможное количество пар дружащих детей.

(С. Берлов, Н. Власова)


Оставьте свой отзыв

Добавить изображение