10 класс

Первый день

10.1. Разбейте какой-нибудь клетчатый квадрат на клетчатые квадратики так, чтобы не все квадратики были одинаковы, но квадратиков каждого размера было одно и то же количество.

(Методкомиссия)

10.2. Петя и Вася по очереди выписывают на доску натуральные числа, не превосходящие 2018 (выписывать уже имеющееся число запрещено); начинает Петя. Если после хода игрока на доске оказываются три числа, образующих арифметическую прогрессию, — этот игрок выигрывает. У кого из игроков есть стратегия, позволяющая ему гарантированно выиграть?

(М. Дидин, П. Кожевников)

10.3. Положительные числа x, y таковы, что x^5 −y^3 \ge 2x. Докажите, что x^3 \ge 2y.

(Н. Агаханов)

10.4. Пусть O — центр окружности \Omega, описанной около остроугольного треугольника ABC. На дуге AC этой окружности, не содержащей точку B, взята точка P. На отрезке BC выбрана точка X так, что PX \perp AC. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника BXP, лежит на окружности, описанной около треугольника ABO.

(И. Фролов)

10.5. Дано нечетное число n > 10. Найдите количество способов расставить по кругу в некотором порядке натуральные числа 1, 2, 3, \ldots , n так, чтобы каждое число являлось делителем суммы двух соседних с ним чисел. (Способы, отличающиеся поворотом или отражением, считаются одинаковыми.)

(Д. Храмцов)

Второй день

10.6. Петя выбрал натуральное число n и выписал на доску следующие n дробей:

    \[\frac{0}{n}, \frac{1}{n - 1}, \frac{2}{n - 2}, \frac{3}{n-3},\ldots , \frac{n-1}{n-(n - 1)} .\]

Пусть число n делится на натуральное число d. Докажите, что среди выписанных дробей найдется дробь, равная числу d - 1.

(Б. Обухов)

10.7. Из четырех одинаковых треугольников сложен выпуклый четырехугольник. Верно ли, что у этого четырехугольника обязательно есть параллельные стороны?

(Методкомиссия)

10.8. Дана клетчатая доска 1000\times1000. Фигура гепард из произвольной клетки x бьет все клетки квадрата 19\times 19 с центральной клеткой x, за исключением клеток, находящихся с x в одном столбце или одной строке. Какое наибольшее количество гепардов, не бьющих друг друга, можно расставить на доске?

(И. Богданов)

10.9. Докажите, что найдется такое натуральное число n > 10^{2018}, что сумма всех простых чисел, меньших n, взаимно проста с n.

(Р. Салимов)

10.10. Дан треугольник ABC, в котором \angle A = \angle C = 30^{\circ} . На его сторонах AB, BC и AC выбраны точки D, E и F соответственно так, что \angle BFD = \angle DFE =60^{\circ}. Периметр треугольника ABC равен p, а периметр треугольника DEF равен p_1. Докажите, что p\le 2p_1.

(А. Кузнецов)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение