10 класс
Первый день
10.1. Разбейте какой-нибудь клетчатый квадрат на клетчатые квадратики так, чтобы не все квадратики были одинаковы, но квадратиков каждого размера было одно и то же количество.
(Методкомиссия)
10.2. Петя и Вася по очереди выписывают на доску натуральные числа, не превосходящие (выписывать уже имеющееся число запрещено); начинает Петя. Если после хода игрока на доске оказываются три числа, образующих арифметическую прогрессию, — этот игрок выигрывает. У кого из игроков есть стратегия, позволяющая ему гарантированно выиграть?
(М. Дидин, П. Кожевников)
10.3. Положительные числа таковы, что
. Докажите, что
.
(Н. Агаханов)
10.4. Пусть — центр окружности
, описанной около остроугольного треугольника
. На дуге
этой окружности, не содержащей точку
, взята точка
. На отрезке
выбрана точка
так, что
. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника
, лежит на окружности, описанной около треугольника
.
(И. Фролов)
10.5. Дано нечетное число . Найдите количество способов расставить по кругу в некотором порядке натуральные числа
так, чтобы каждое число являлось делителем суммы двух соседних с ним чисел. (Способы, отличающиеся поворотом или отражением, считаются одинаковыми.)
(Д. Храмцов)
Второй день
10.6. Петя выбрал натуральное число и выписал на доску следующие
дробей:
Пусть число делится на натуральное число
. Докажите, что среди выписанных дробей найдется дробь, равная числу
.
(Б. Обухов)
10.7. Из четырех одинаковых треугольников сложен выпуклый четырехугольник. Верно ли, что у этого четырехугольника обязательно есть параллельные стороны?
(Методкомиссия)
10.8. Дана клетчатая доска . Фигура гепард из произвольной клетки
бьет все клетки квадрата
с центральной клеткой
, за исключением клеток, находящихся с
в одном столбце или одной строке. Какое наибольшее количество гепардов, не бьющих друг друга, можно расставить на доске?
(И. Богданов)
10.9. Докажите, что найдется такое натуральное число , что сумма всех простых чисел, меньших
, взаимно проста с
.
(Р. Салимов)
10.10. Дан треугольник , в котором
. На его сторонах
и
выбраны точки
и
соответственно так, что
. Периметр треугольника
равен
, а периметр треугольника
равен
. Докажите, что
.
(А. Кузнецов)
1 Саша:
Мне кажется или 3-ему заданию действительно не хватает дополнительной формулировки?
[Ответить]
19 Январь 2019, 21:46