10 класс

Первый день

10.1. Разбейте какой-нибудь клетчатый квадрат на клетчатые квадратики так, чтобы не все квадратики были одинаковы, но квадратиков каждого размера было одно и то же количество.

(Методкомиссия)

10.2. Петя и Вася по очереди выписывают на доску натуральные числа, не превосходящие $2018$ (выписывать уже имеющееся число запрещено); начинает Петя. Если после хода игрока на доске оказываются три числа, образующих арифметическую прогрессию, — этот игрок выигрывает. У кого из игроков есть стратегия, позволяющая ему гарантированно выиграть?

(М. Дидин, П. Кожевников)

10.3. Положительные числа $x, y$ таковы, что $x^5 −y^3 \ge 2x$ . Докажите, что $x^3 \ge 2y$ .

(Н. Агаханов)

10.4. Пусть $O$ — центр окружности $\Omega$ , описанной около остроугольного треугольника $ABC$ . На дуге $AC$ этой окружности, не содержащей точку $B$ , взята точка $P$ . На отрезке $BC$ выбрана точка $X$ так, что $PX \perp AC$ . Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника $BXP$ , лежит на окружности, описанной около треугольника $ABO$ .

(И. Фролов)

10.5. Дано нечетное число $n > 10$ . Найдите количество способов расставить по кругу в некотором порядке натуральные числа $1, 2, 3, \ldots , n$ так, чтобы каждое число являлось делителем суммы двух соседних с ним чисел. (Способы, отличающиеся поворотом или отражением, считаются одинаковыми.)

(Д. Храмцов)

Второй день

10.6. Петя выбрал натуральное число $n$ и выписал на доску следующие $n$ дробей:

$\frac{0}{n}, \frac{1}{n - 1}, \frac{2}{n - 2}, \frac{3}{n-3},\ldots , \frac{n-1}{n-(n - 1)} .$

Пусть число $n$ делится на натуральное число $d$ . Докажите, что среди выписанных дробей найдется дробь, равная числу $d - 1$ .

(Б. Обухов)

10.7. Из четырех одинаковых треугольников сложен выпуклый четырехугольник. Верно ли, что у этого четырехугольника обязательно есть параллельные стороны?

(Методкомиссия)

10.8. Дана клетчатая доска $1000\times1000$ . Фигура гепард из произвольной клетки $x$ бьет все клетки квадрата $19\times 19$ с центральной клеткой $x$ , за исключением клеток, находящихся с $x$ в одном столбце или одной строке. Какое наибольшее количество гепардов, не бьющих друг друга, можно расставить на доске?

(И. Богданов)

10.9. Докажите, что найдется такое натуральное число $n > 10^{2018}$ , что сумма всех простых чисел, меньших $n$ , взаимно проста с $n$ .

(Р. Салимов)

10.10. Дан треугольник $ABC$ , в котором $\angle A = \angle C = 30^{\circ}$ . На его сторонах $AB, BC$ и $AC$ выбраны точки $D, E$ и $F$ соответственно так, что $\angle BFD = \angle DFE =60^{\circ}$ . Периметр треугольника $ABC$ равен $p$ , а периметр треугольника $DEF$ равен $p_1$ . Докажите, что $p\le 2p_1$ .